3、2,求一，一，dz。dxQy_9>求函数z二exy+ln(x+y)的全微分.dz=(yexy+—i—)dx+(xexy+—-—)dyx+yx+y10>设z=ex^y,J=Lx=sinz,y=t2,求全导数上。・dt解：Z=严护,dz_=(严亠y=严3d(sint_彳严y=严曲(心一6f).dt11、设f(x,y)=<2y2ev+1讨论/（兀y）在（o,o）处是否连续?0,x=O.y任意知识点：二元函数连续思路：若limf（x,y）=/（x0,y0）,则函数z=/（x,y）在（x（）,y（J连续。讨
4、论（兀，儿）处二IE极限XT必）fo的存在性，若（圮y）沿不同曲线趋于（勺，刃））时，极限值不同，则二重极限不存在。ycx0解：若(Xy)沿兀轴趋于(0?0),贝ijlim=lim—=0XT()XT()]•Dy2ex2+
5、y=o=limXT()」+1y=g7ye若(兀丿)沿y=er轴趋于(0,0),贝ijlimz.r->0—〉t°y2ex"+1故lim/(x,y)不存在，从而函数f(x,y)在(0,0)处是不连续。x->012、设函数z=z(x,y),由方程尸(兰上)=0所确定，其中F为可微函数，
6、则ZZ&CZX——+V——=・Zdxdy13、函数z=^-/+3xy的极值点为,函数在该点处取得极值.(1-1)，小14.求函数z=x2+y2在条件x+y=l下的极值。解:拉格朗日函数:F(x,yA)=x2+y2+X(x+y-l)由耳=2x+X=0,F^,=2y+X=0,=x+y—1=0,得极值点(x,y)=(2丄),则z的极值为二22215。求函数f(x,y)=4(x-y)-(x2+y2)的极值。解：rtif=4-2x=0rA9=(2,-2)fy=-4-2y=0A=fxx=-2,B=fAy=O,
7、C=fvy=-29AC-B2=4>0,A<0,故，/(兀，刃在(2,-2)取得极大值：8・16.证明极限lim二丄不存在.(x』)t((),0)X-y证：取y=kx,则limA±l=iiml!±A21=l±A,易见极限会随k值的变化而变化，故原式极限不存在。(3)-x-y:託(1一k)x1一k17.设/(x,y)=x+(y-1)arcsin—,求£(兀,1)。y解：法一：/(x,1)=x+(1-1)arcsiny[x=x,/.£(兀,1)=1；‘求E（x，y），fQ，y）・18.设知识点、：多元
8、分段函数偏导数。思路：分段函数分段点处偏导数用定义求；非分段点处应用法则求导。解：当O,y)=(0,0)时,(Ar)2sin/；(0,0)=lim/(0+心，0)-/(0,0)=lim空=oAxtOAYAx->()Ar〉Ay->0△yAysinlimAy->()△y空=limsin—!—△T
9、Ay
10、不存在。当（兀，刃工（0,0）时,f；(x,^)=2xsin-y=1+y2+(<+V)COS/17^7Xjr+2xsin^T7"^+7)3cos^77/y饷刃=亦占+（疋+畑占•銮?1y(x2+y)1=
11、sm、}——「cos、i7^7E+刖7^7dz19.设z=ev"2y,而兀=sint,y=F,求一dtdzdzdxdzdy11•1■I■■•,dtdxdtdydt=ev-2＞，-cosr+ex-2v(-2)-3r2=esin/-2rcosz-6r2)29dzdz20.设z二茁+芮，而u=x+y,v=x-y9求一，一8xdy解:&dxdzdudzdvdudxdvdxdzdzdudzdvdydudycvdy=2w-l+2v-l=2(x+y)+2(x一y)-4x=2wl+2v(-l)=2(x+y)-2
12、(x-y)=4y21•设Z(宀"’求孚魯dxdy解：令u=x2+y2^v=xy,则函数可看为z=uu=x2+y2,v=xy复合而成的斷数，从而dzdzdudzdvdxdudxdvdxdzdzdudzdvdydudydvdy=vwv~'-2x+wrInw•y=(/+y2严(y.+yin(V+),))+y.=vwv"'-2y^uvu-x=U2+y2)-v(^Xy.+兀ln(F+y2))代入红丄dxFy解：设F(x,y)=Iny]x2+y2一arctan—,X(-4)jr2x21+
