抽象函数的类型与解法

《抽象函数的类型与解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、抽象函数的类型与解法广州市黄埔区教育局教研室曾辛金1.正比例函数型的抽象函数f(x)=kx(WHO)-f(x±j)=f(x)±f(j)例1已知函数/(x)对任意实数兀、y均有/(x+y)+/(y),且当x>0时，f(x)>Ot人一1)=一2求/W在区间［一2,1］上的值或分析:先证明函数/(%)在R上是增函数(注意到f(x2)=j(兀2—兀】)+勿=八兀2-X.)+/CX.))；再根据区间求其值域.例2已知函数/&)对任意实数x、y均有/(x+y)+2=/(x)+f(y),且当x>0时,7W>2,f(3)=5,求不等式f(/一2°—2)<3的解.

2、分析：先证明函数fCx)在R上是增函数(仿例1)；再求岀/(I)=3；最后脱去函数符号.2.幕函数型的抽象函数/(x)-f(xy)=/(x)/(j)；/(-)=供y/(y)例3已知函数八x)对任意实数兀、y都有f(xy)=/(x)/(y),且/(一1)=1,/(27)=9,当0Wx

3、型的抽象函数f(x)=axf(x+j)=/(x)/(j)；f(x-j)/(y)例4设函数/(X)的定义域是(一°°,+°°),满足条件：存在X

4、HX2，使得f

5、)(兀2)；对任何X和y，f(x+y)=f(x)f(y)成立.求：(1)f(0)；(2)对任意值x,判断f(x)值的符号.分析：(1)令y=0；(2)令y=xHO.例5是否存在函数f(x),使下列三个条件：®f(X)沁EN；②f(a+b)=f(a)f(b),a、bUN；@f(2)=4.同时成立？若存在，求iif(x)的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出/(x)=2V；再用数学归纳

6、法证明.1.对数函数型的抽象函数Yf(x)=logaX(a>0且aHl)—-■/(x•j)=f(x)+f(j)；/(—)=/(x)—f(j)y例6设/(x)是定义在(()，+8)上的单调增函数，满足/(x・y)=/•&)+/(y),f(3)=1,求：(1)/(1)；(2)若f(x)+/(x-8)W2,求x的取值范伟I.分析：(1)利用3=1X3；(2)利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y=f(x)的反函数是y=g(x).如果(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)・g(b)是否正确，试说明理由.分析：设f(a)=m,f(b)=

7、/?,则g(in)=a,g(n)=b,进而m+n=f(a)+f(b)=/(ab)=f[g(加)g(/?)]….2.三角函数型的抽象函数f(x)=tgxf(x+j)=/(x)+/(y)1—/WO)f(x)=cotxf(x+j)=/⑴/(y)—I例8已知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件:①小兀2是定义域中的数时，有f(X-X2)=mg)+l/(x2)-/(%])②/(a)=-1(°>O,。是定义域中的一个数)；③当0<兀<加吋，f(x)<0.试问：(1)/(x)的奇偶性如何？说明理由；(2)在(0,4。)上，/(Q的单调性如何？说明

8、理由.分析：(1)利用.门一(兀1一兀2)]=~f(兀1一兀2)]，判定f(X)是奇函数;(3)先证明/(x)在(0,2°)上是增函数，再证明其在(2d,4°)上也是增函数.对于抽彖函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但町用特殊模型理解题意•有些抽象函数问题，对丿应的特殊模型不是我们熟悉的基木初等函数•因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例9已知函数/(%)(兀工0)满足/(xy)=f(x)+f(y),(1)求证：/(1)=f(―1)=0；(2)求证：/(x)为偶函数；(3)若/(%)在(0,+8

9、)上是增函数，解不等式/(x)+/(x--)W0.2分析：函数模型为：/(x)=lo^Lxl(°>0)(1)先令x=y=l,再令兀=y=—1；(2)令)=—1；(3)由f(x)为偶函数，则/&)=f(W).例10已知函数f(x)对一切实数x、y满足/(0)H0,f(x+y)=/(x)・/(y)，且当xVO时,f(x)>1,求证:(1)当x>0时，OV/(x)<1；(2)f(x)在xWR上是减函数.分析：(1)先令兀=y=()得f(0)=1,再令y=—x；(3)受指数函数单调性的启发：由fCx+y)=f(x)f(y)可得fCx-y)=/也，/(.V)

10、进而由xii./u2)总之，因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，加上本