4-1积分学“人文概述”

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1、模块基本信息•级模块名称三级模块名称先行知识积分学“积分学”人文概述极限导数二级模块名称模块编号人文模块4-1知识内容模块编号模块编号教学要求1-52-2掌握程度1、“积分学”模块中学什么内容2、为什么学这些内容3、怎么学这些内容能力目标时间分配修订1、了解在“积分学”模块中学什么内容2、了解为什么学这些内容3、了解怎么学这些内容逐步培养学生整合章节的能力_校对二审35分钟编撰张云霞周东琼王清玲了解审核危子青危了青前面我们学习了一元函数微分学，这节课开始我们学习一元函数积分学，其中包括不定积分和定积分两部分内容•在学习本节内容之前，我们先

2、来看一个大家比较感兴趣的例子.一、引例：城市交通流下黄灯闪烁时间应该怎样设置？在北京、上海、广州等大城市乘坐公交车，我们常会遇到等交通灯的烦恼问题。交通路口的指挥灯信号有红、黃、绿三种颜色，在绿灯转换成红灯之前有一个过渡状态，这个过渡状态是由黄灯来完成的。通常是亮一段吋间黄灯后才变成红灯信号。交通指挥信号设置合理，即可保证交通安全又能避免某一方向的车流等待太久，减少司机、乘客的烦恼，如果交通指挥灯闪烁实践设置不合理，虽也可在一定程度上保证交通安全，但往往会造成人们等待某一方向的“车龙”太长，白白浪费了司机、乘客的宝贵吋间，无谓的增添了司机

3、、乘客的烦恼。那么，怎样设置交通指挥灯各种颜色信号灯闪烁吋间长短，特别是黄灯闪烁的时间才合理呢？学习完本章的内容，利用定积分的思想就可以解决这个问题•下面我们先来了解下积分学的起源与发展。二、积分学的萌芽与发展1.酝酿时期15、16世纪在欧洲文艺复兴的高潮小，数学的发展与科学的革命紧密结合在一起，捉出了以下亟待解决的问题：（1）确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近H点与远H点等涉及的函数极大值、极小值问题。（2）行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的而积及物体重心与引力的计算等。为解决科学发展所带来的一系列问题，17世纪上半叶被人们遗忘千年

4、的微积分重又成为重点研究对彖。许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述儿类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人捉出了许多很冇建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。其小代表性的成果有以下几个方面:开普勒与旋转体体积；卡瓦列里不叮分量原理；沃利斯“无穷算术”；笛卡尔“圆法”；费马求极大值与极小值的方法；巴罗微分三角。1.建立阶段十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和徳国数学家莱布尼茨分别在口己的国度里独口研究和完成了微积分的创立工作，一个

5、是切线问题（微分学的小心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是宜观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学來考虑的。①牛顿的“流数术”英国数学家牛顿（1642-1727）于1665年11月发明“正流数术”（微分法），1666年5月建立“反流数术“（积分法）o1666年10月，牛顿将前两年的工作总结为《流数简论》，明确了现代微积分的基木方法,是历史上第一篇系统的微积分文献。牛顿将自古希腊以来的

6、求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法：正、反流数术（流数就是微商），并证明了二者的互逆关系，将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩，也正是在这样的背景下，我们说牛顿发明了微积分。牛顿在1687-1693年里相继发表了《运用无限多项方程的分析》（《分析学》）、《流数术与无穷级数》（《流数法》）、《曲线求积术》（《求积术》）。在这些文献屮他改变了自己对无限小量的依赖，提出了极限方法的先导“首末比方法”，第一次引进流数记号，比如一次流数x,y,z,二次流数X..,y..,z..,,,等。②莱布尼茨的贡献徳国数学家莱布尼茨（1

7、646-1716）是从巴罗的“微分三角形”切入微积分研究工作的，他在研究“微分三角形”时认识到：“求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值在变成无限小时Z比；求曲线的面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之和”。早在1666年，莱布尼茨在《组合艺术》一书屮讨论过数列问题并求得许多重要结论。1672年开始，莱布尼茨将他对数列研究的结果与微积分运算结合起来，在1675年10丿」29FI的一份手稿中，他决定用sum拉长的s,即J表示积分。1676年11月，莱彳j尼茨〔［I经能够给出幕函数的微分与积分公式:dxe=exe^dx与2心二丄（其中不一定

8、是正整数）。1677年，莱布尼J€+1茨在一篇手稿小明确陈述了微积分基本定理f^x^dx=F（b）_F（a）。“3、积分学的完善牛顿与莱布尼茨的理论述不完善，因为他们在无穷和无穷小量这个问题上