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1、混沌理论及其应用 绪论1主要参考资料非线性动力学刘秉正,彭建华高教出版社从抛物线谈起郝柏林高教出版社混沌动力学基础及其应用,刘宗华高教出版社混沌密码学原理及其应用，廖晓峰等，科学出版社5.Chaosindynamicalsystems,EdwardOtt,UniversityofMaryland,19932第1章前言1.1线性与非线性1.2非线性系统和混沌现象1.3混沌研究的发展及意义1.4课程内容简介31.1线性与非线性如果在某个坐标系下,函数f具有叠加原理的性质:y1=f(x1),y2=f(x2),y1+y2=f(x1+x2),f(ax)=af(x)我们就说这个函数是线性的.反之
2、,该函数为非线性的.4牛顿第二定律研究自由落体:通常我们所处理的是线性系统:原因处理方法简单(数理方法)建立微分方程组只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体以往和未来的全部运动状态5无阻尼单摆m6研究手段线性问题:线性方程普适方法非线性问题:非线性方程很难找到普遍的解决方法，只能对具体问题做具体分析针对个别问题的特点采取特殊的处理方法,有时加很强的约束条件20世纪60年代开始，电子计算机的应用,“计算物理”和“实验数学”，非线性的研究广泛开展7实验系统:力学实验,电路实验,光学系统,生物系统,化学反应等计算机数值计算方法:建立模型和描
3、述方程,编写程序,模拟系统的演化,并分析系统的性质理论解析分析:有时+计算机分析81.2非线性系统和混沌现象非线性广泛存在自然界和社会生活中,线性行为只是平衡态附近的近似结果,自然界本质是非线性的.弹性振动1.简谐振动:振子质量m=1,角频率,x为位移,势能牛顿第二定律:线性系统92.实际系统中一维弹性系统的势能一般为:非线性系统10达芬(Duffing)振子周期力磁铁感应器铁条yDuffing方程Chaosindynamicalsystemsp.2-311两个稳态一个非稳态12双稳态系统x13不规则运动1415161718ExperimentofShaw(1984)Lightsou
4、rceLightsensorDrippingfaucetDrop1Drop2Drop3…Dropn19ExperimentofShaw(1984)Thetimesequence:Definethetimeinterval:Trytofindinflowratevs.thetimeintervalsThetimeintervalsequence:20ExperimentofShaw(1984)Inflowrateincreasing12345RegularPeriod1RegularPeriod2RegularPeriod4RegularPeriod8IrregularchaosToc
5、haos:doubleperiodbifurcation21Chua’scircuit022Chua’scircuitOscillograph方程解VS.电阻R23GreaterRegularClosedOrbitsLimitedcyclePeriod1Case124DecreaseRegularClosedOrbitsPeriod2Case225DecreaseRegularClosedOrbitsPeriod4Case326sufficientsmallIrregularRandomNonperiodicorbitdisclosedorbitChaosCase427Attract
6、orsofChua’scircuit2829实验现象的观察一周期一周期二30实验现象的观察二周期四周期五31实验现象的观察三周期三单吸引子32实验现象的观察四阵发混沌33虫口模型虫口模型1:虫口增长率与现有的虫口数成正比解考虑实际外界因素影响:资源不足,不同区域间作用34模型2虫口过密,考虑虫与虫之间争夺有限的资源是限制虫口增长的主要因素35变换迭代Logisticmap,虫口模型36Logistic映象图1-1Logistic映象的分叉与混沌37变量空间分岔的自相似行为38典型的混沌系统非线性映象系统(时间离散、变量连续)(2)帐篷映射(1)Logestic映象39(3)圆映象(C
7、irclemap)一维映象：不可逆映象可以产生混沌运动可逆映象不存在混沌可逆——一对一，逆映象唯一不可逆——逆映象不唯一40(4)标准映象(Standardmap)mod可逆二维映象无论耗散与否均可产生混沌运动41非线性振子(时间连续、变量连续)(1)Lorenz方程Lorenz的混沌吸引子42(2)Rossler方程Rossler混沌吸引子43(3)Duffing方程Duffing方程混沌吸引子非线性自洽系统3维及以上可能产生混沌运动。含时非自洽系统2维
