第十二讲 求图形面积地几种常用方法

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1、第十二讲求图形面积的几种常用方法第十二讲求图形面积的几种常用方法在组合图形中，求阴影部分的面积的常用方法是：割补法、加减法、旋转法、构造法、等积的变换，抓不变量、等分、一半的应用、代换、比例等。A、割补法：对于一些求不在一起的几块阴影面积的和，往往需要把它们通过剪割、拼补在一起，才便于计算，在剪割、拼补过程中，一定要注意割下来的图形和补上去的图形的形状、大小必须完全一样。【例1】如图，每个小圆的半径是2厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】如图，通过剪割、拼补，阴影部分的面积就变成了圆的面积减去正方形的面积，则阴影部分面积为：S阴影=S圆－S正方形=π×42－4

2、×4÷2×4=50.24－32=18.24(平方厘米)【例2】右图中三个圆的半径都是4厘米，三个圆两两交于圆心。求阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】如图，三个阴影部分的面积都相等，只需要求出其中一个面积即可，但非常困难。这时我们可以考虑采用割补的方法，同时利用对称性，将其个半圆形，则阴影部分的面积=3。14×4×4÷2=25。12（平方厘米）B、加减法：注意观察，所求阴影部分的面积看是由哪几个图形相加，再减去哪个图形变可以得到。我们把这种通过加、减就能求出它的面积的方法，我们的把它称为“加减法”。【例3】如图，正方形的边长为4厘米，求阴影部分的面积是多少？【分析与解

3、】如图，显然阴影部分的面积=扇形的面积－空白c的面积，而空白c的面积=正方形的面积－扇形的面积，即S阴影=S扇－（S正－S扇）=S扇－S正＋S扇=S扇＋S扇－S正即S扇＋S扇比S正的面积多了b那部分的面积，即b=[(b＋c)＋(b＋a)]－(a＋b＋c)阴影部分的面积，S阴=π×42÷4×2－4×4=25.12－16=9.12(平方厘米)。ab【例4】如图，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，求阴影部分的面积是多少？【分析与解】如图，S阴影=S大扇－Sa=S大扇－(S长－S小扇)=S大扇＋S小扇－S长=π×122÷4＋π×82÷4－12×8=163.28－96=67.28（平

4、方厘米）ADEBCABCEBDC、旋转法：在求一些面积时，有时需要把某个图形进行一定方向的旋转，使之拼在一起，变成另一个比较方便求的图形。【例5】如图，梯形ABCD的上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米，E是梯形的中点。求阴影部分的面积是多少？【分析与解】如图，由于E是梯形的中点，若以E为圆心，将三角形BEC绕反时针方向放置，使C点与D点重合，显然可得，阴影部分的面积78第十二讲求图形面积的几种常用方法与三角形ABE的面积相等，所以阴影部分的面积=梯形面积的一半=（3＋4）×4÷2÷2=8（平方厘米）。D、等分法：就是将整个图形，平均分成若干份，再看所求的图形的面积占多少

5、份，从而求得阴影部分的面积。【例6】将三角形ABC的三条边分别向外延长一倍，得到一个大的六边形，已知三角形ABC的面积是6平方厘米，求大六边形的面积。ABC【分析与解】要求六边形的面积，似乎很困难，但通过三角形的顶点A、B、C的三条边对六边形进行等分，就很容易得出，六边形的面积是三角形面积的13倍，故所求面积为：6×13=78（平方厘米）【例7】如图，在正方形中，放置了两个小正方形，大正方形的面积是180平方厘米，求甲乙两个小正方形有面积各是多少？【分析与解】经过等分，可以得到，甲的面积占正方形面积的一半的，即甲的面积为180÷2÷2=45（平方厘米）；乙的面积占正方形面积

6、的一半的，即乙的面积=180÷2÷9×4=40（平方厘米）。E、抓不变量：若甲比乙的面积大a，则甲和乙同时加上或减去相同的数，它们的大小不变，而图形发生变化，再通过变化后的图形进行求解，就可以使问题得到简便；若两个面积相等的图形，同时加上或差动相同的面积，则剩下的面积仍然相等。①②【例8】如图，已知半圆的AB=20（厘米），阴影①比阴影②面积大57平方厘米，求直角三角形的高BC的长？【分析与解】根据条件，可以求得半圆的面积为：3.14×10×10÷2=157（平方厘米），又“阴影①比阴影②面积大57平方厘米”，若阴影①和阴影②都加上空白部分，则半圆的面积比三角形的面积大57

7、平方厘米，因此可求得三角形面积是157－57=100（平方厘米），高BC为：100×2÷20=10（厘米）F、“一半”的应用：在正方形、长方形、平行四边形中，以其中一条边为底，在它的对边上任意取一点，所得的三角形的面积等于整个面积的一半。ABECDF【例9】一个长方形长边为12厘米，宽AB=8厘米，E是BC上一点，AE长10厘米，AE和DF互相垂直，DF长是多少厘米？【分析与解】如图，如果连接DE，则可得三角形ADE的面积是长方形面积的一半，由“AE和DF互相垂直”，可知DF是三角形ADE的高，则DF=12×8÷2