冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题19数列通项与求和问题含解析

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1、专题19数列通项与求和问题【自主热身，归纳提炼】1、等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则.【答案】【解析】由于，故，而，故，则.2、对于数列{an}，定义数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝________.【答案】8　【解析】：因为b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3，所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4，三式相加可得a4－a1＝－9，所以a1＝a4＋9＝8.3、设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和

2、为________．【答案】：　解后反思本题主要考查等差中项和等比中项的性质及应用，体现了等差数列和等比数列的基本量的计算问题中的方程思想，等比数列的求和要注意公比是否为1.:4、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，则公比q的值为________．【答案】：.2　当q＝1时，显然不满足题意；当q≠1时，整理得解得q＝2.5、记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S4－5S2＝0，则S5的值为________．【答案】：31【解析】：设公比为q，且q＞0，又a1＝1，则an＝qn－1.由S4－5S2＝0，得(1＋q2)S2＝5S2

3、，所以q＝2，所以S5＝＝31.解后反思利用S4＝(1＋q2)S2，可加快计算速度，甚至可以心算．6、设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为．【答案】：7、已知数列{an}满足a1＝－1，a2>a1，

4、an＋1－an

5、＝2n(n∈N*)，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{an}的通项公式为an＝________.【答案】　【解析】：因为

6、an＋1－an

7、＝2n，所以当n＝1时，

8、a2－a1

9、＝2.由a2>a1，a1＝－1得a2＝1.当n＝2时，

10、a3－a2

11、＝4，得a3＝－3或a3＝5.因为{a2n－1}单调递减，所以a3＝－3.当n＝3时，

12、a4－a3

13、＝8

14、，得a4＝5或a4＝－11.因为{a2n}单调递增，所以a4＝5.同理得a5＝－11，a6＝21.因为{a2n－1}单调递减，a1＝－1<0，所以a2n－1<0.同理a2n>0.所以当n为奇数时(n≥3)，有an－an－1＝－2n－1，an－1－an－2＝2n－2.两式相加得an－an－2＝－2n－2.那么a3－a1＝－2；a5－a3＝－23；…；an－an－2＝－2n－2.以上各式相加得an－a1＝－(2＋23＋25＋…＋2n－2)．所以an＝a1－＝－.同理，当n为偶数时，an＝.所以an＝也可以写成an＝.【问题探究，变式训练】例1、已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}

15、是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．【解析】：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.(3分)由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程组解得所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*.(7分)(2)由题意知cn＝(n＋1)×2n.记Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn.则Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋

16、(n－1)×2n－1＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1，(11分)即Tn＝n·2n＋1，n∈N*.(14分)【变式1】、在数列中，已知，，，设为的前项和．（1）求证：数列是等差数列；（2）求．证明（1）因为，所以，又因为，所以，所以是首项为1，公差为的等差数列．（2）由（1）知，所以，所以，所以，两式相减得．，所以．【变式2】、已知数列的前项和为，且（）．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的通项公式．解（1）由，得．两式相减，得，所以，由又，得，，所以数列为等比数列，且首项为2，公比，所以．（2）由（1）知．由(

17、)，得()．故，即．当时，．所以【关联1】、数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝an(r∈R，n∈N*)．(1)求r的值及数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.①当n∈N*时，λ＜T2n－Tn恒成立，求实数λ的取值范围；②求证：存在关于n的整式g(n)，使得(Ti＋1)＝Tn·g(n)－1对一切n≥2，n∈N*都成立．思路分析(1)利用关系式an＝将an与Sn的关系转化