小学奥数抽屉原理简介__.doc

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1、小学奥数之-----抽屉原理　　桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。　　抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”　　抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至

2、少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。　　一．抽屉原理最常见的形式　　原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。　　[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.　原理2把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1　个的物体。　　[证明]（反证法）：

3、若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能.　　原理12都是第一抽屉原理的表述　　第二抽屉原理：　　把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。　　[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能　　二．应用抽屉原理解题　　抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。　　例１：400人中至少有两个人的生日相同.　　解：将一年中的36

4、6天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同.　　又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.　　“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”　　“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”　　例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.　　解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面

5、六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.　　上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.）　　抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可

6、以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。　　（一）整除问题　　把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m＋1，3m＋1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。　　例1证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。　　分析与解答在与整除有关的问题

7、中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。　　例2：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.　　证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分

8、别构造为3个抽屉：　　[0]，[1]，[2]　　①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中，我们从这三个抽屉中各取1个，其和必能被3整除.　　②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数.　　③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除.　　例2′：对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的