2019届高考数学专题四恒成立问题精准培优专练理

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1、培优点四恒成立问题1.参变分离法例1:已知函数,若在上恒成立,则的取值范围是_________.【答案】【解析】,其中,只需要.令,,,,在单调递减,在单调递减,,.2.数形结合法例2:若不等式对于任意的都成立,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】本题选择数形结合,可先作出在的图像,扮演的角色为对数的底数,决定函数的增减,根据不等关系可得,观察图像进一步可得只需时,,即,所以.3.最值分析法例3:已知函数,在区间上,恒成立,求的取值范围___________.【答案】【解析】恒成立即不等式恒成立,令,只需即可,,,令(分析的单调性)当时在单调递减

2、,则(思考:为什么以作为分界点讨论?因为找到,若要不等式成立,那么一定从处起要增(不一定在上恒增,但起码存在一小处区间是增的),所以时导致在处开始单减,那么一定不符合条件.由此请体会零点对参数范围所起的作用)当时,分是否在中讨论(最小值点的选取)若,单调性如表所示,.(1)可以比较,的大小找到最小的临界值,再求解,但比较麻烦.由于最小值只会在,处取得,所以让它们均大于0即可.(2)由于,并不在中,所以求得的只是临界值,临界值等于零也符合条件)若,则在上单调递增,,符合题意,综上所述:.一、选择题1.已知函数,若,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】

3、若,即有,分别作出函数和直线的图象,由直线与曲线相切于原点时,,则,解得,由直线绕着原点从轴旋转到与曲线相切,满足条件.即有,解得.故选B.2.已知函数,当时,恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可得:,令可得:,,且:,,,,据此可知函数在区间上的最小值为,结合恒成立的条件可得:,求解关于的不等式可得实数的取值范围是.本题选择C选项.3.若函数在区间内单调递增,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】,在内恒成立,所以,由于,所以,,所以,故选D.4.已知对任意不等式恒成立(其中,是自然对数的底数),则实数的取值范围

4、是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由得在上恒成立,即在上恒成立.令,,则,∴当时,,单调递增,当时,,单调递减.∴,∴,∴.故实数的取值范围是.故选A.5.已知函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】若恒成立,则,,所以在单调递减,在单调递增.,,所以.故选D.6.当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】时,恒成立不等式等价于,,设,,,在单调递减,在单调递增,,当时,可知无论为何值,不等式均成立,当时,恒成立不等式等价于,,同理设,,在单调递增,,,综上所述:.故选C.7.函数,若存

5、在使得成立,则实数的范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】若存在使得成立,则在内即可,,,故在上单调递减,,故选A.8.设函数,若存在,使,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】的定义域是,,当时,,则在上单调递增,且,故存在,使;当时,令,解得,令,解得,在上单调递增,在上单调递减,,解得.综上,的取值范围是.故选D.9.若对于任意实数,函数恒大于零,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】当时,恒成立,若,为任意实数,恒成立,若时,恒成立,即当时,恒成立,设,则,当时,,则在上单调递增,当时,,则在上单调递减,当时,取得最大值为

6、.则要使时,恒成立,的取值范围是,故选D.10.已知函数,,若对任意,总有或成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由,得,故对时,不成立,从而对任意,恒成立,因为,对任意恒成立,如图所示,则必有,计算得出.故选B.11.已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】不等式,即,结合可得恒成立,即恒成立,构造函数,由题意可知函数在定义域内单调递增,故恒成立,即恒成立,令,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增;则的最小值为,据此可得实数的取值范围为.本题选择D选项.12.设函数,其中,若有且只有一个整数使

7、得,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】设,,则,∴当,,单调递减;当,,单调递增,∴当时,取得最小值.如下图所示.又,故;,故.故当时,满足在直线的下方.∵直线恒过定点且斜率为,∴要使得有且只有一个整数使得,只需,∴,又,∴实数的取值范围.故选C.二、填空题13.设函数,,对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】法一:如图,因为恒成立,则的图像在的上方(可以有公共点),所以即,填.法2:由题设有.当时,;当时,有恒成立或恒成立,故或即,填.14.函数,其中,若对任意正数都有,则实数的取值范围

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