2019高考数学专题十七离心率精准培优专练文

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1、培优点十七离心率1．离心率的值例1：设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题存在焦点三角形，由线段的中点在轴上，为中点可得轴，从而，又因为，则直角三角形中，，且，，所以，故选A．2．离心率的取值范围例2：已知是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】从图中可观察到若为锐角三角形，只需要为锐角．由对称性可得只需即可．且，均可用，，表示，是通

2、径的一半，得：，，所以，即，故选B．一、单选题1．若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点，代入，可得：，即，，故选D．2．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设直线的参数方程为，代入椭圆方程并化简得，所以，，由于，即，代入上述韦达定理，化简得，即，．故选A．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条

3、边长分别称“勾”“股”“弦”．设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若，分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】由双曲线的定义得，所以，即，由题意得，所以，又，所以，解得，从而离心率，故选D．4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，它们交于，两点，且直线过点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】设双曲线的左焦点坐标为，由题意可得：，，则，，即，，又：，，据此有：，即，则双曲线的离心率：．本题选择C选项．5．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为

4、坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，所以圆的方程为：，与椭圆方程联立得：，此方程在区间上有解，由于为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于与之间，所以，结合，解得，根据离心率公式可得．故选C．6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设为椭圆短轴一端点，则由题意得，即，因为，所以，，，，，，故选C．7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且

5、，则此双曲线的离心率的最大值为（）A．B．C．2D．【答案】B【解析】由双曲线的定义知①；又，②联立①②解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得，即的最大值为，故选B．解法二：由双曲线的定义知①，又，②，联立①②解得，，因为点在右支所以，即故，即的最大值为，故选B．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，，又，可得，即为椭圆的短轴的端点，，且，即有，即为，．故选D．9．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率

6、的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，由双曲线与直线有交点，则有，即有，则双曲线的离心率的取值范围为，故选D．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知，是一对相关曲线的焦点，，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率（）A．B．2C．D．3【答案】C【解析】设，，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，可得，，可得，，由余弦定理可得，即有，由离心率公式可得，，即有，解得，故选C．11．又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了．已

7、知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线，即，直线恒过定点，直线过圆的圆心，，，的圆心为、两点中点，设，，，上下相减可得：，化简可得，，，，故选C．12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，，，由题意得，故，故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D．二、填空题13．已知抛物线与双曲线

8、有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为______．【答案】【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为，由于的斜率为，所以，且，所以是等边三角形，所以，所以，，所以，所以，由双曲线的定义可