高考数学第2部分专题6函数、导数、不等式第13讲导数的简单应用学案文

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1、第13讲　导数的简单应用高考统计·定方向热点题型真题统计命题规律题型1：导数的运算及其几何意义2018全国卷ⅠT6；2018全国卷ⅡT13；2018全国卷ⅢT212017全国卷ⅠT14；2016全国卷ⅢT16；2015全国卷ⅠT142015全国卷ⅡT161.考查形式是“一小一大”，“一小”重点考查导数的几何意义，“一大”一般在第(1)问，重点考查函数的单调性或单调区间.2.小题难度较小，大题难度较大.题型2：利用导数研究函数的单调性2018全国卷ⅠT21；2018全国卷ⅡT21；2017全国卷ⅠT212017全国卷ⅡT21；

2、2017全国卷ⅢT21；2016全国卷ⅠT122014全国卷ⅡT11题型3：利用导数研究函数的极值(最值)问题2016全国卷ⅡT20；2015全国卷ⅠT21；2015全国卷ⅡT212014全国卷ⅠT21；2014卷ⅠT21题型1　导数的运算及其几何意义■核心知识储备·1．导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．2．四个易误导数公式(1)(sinx)′＝cosx；

3、(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a＞0且a≠1)；(4)(logax)′＝(a＞0，且a≠1)．■高考考法示例·12【例1】　(1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于(　　)A．2　　　B．－1　　　C．1　　　D．－2(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．(1)C　(2)2x－y＝0　[(1)由题意知即又y′＝3x2＋a，所以y′

4、x

5、＝1＝a＋3，根据导数的几何意义知a＋3＝2，则a＝－1，b＝3，从而2a＋b＝2×(－1)＋3＝1，故选C.(2)设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x，∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.][方法归纳]　求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程,求出切线的斜率f′(x0)，

6、由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率k，求切线方程,设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知过曲线上一点，求切线方程,设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.■对点即时训练·1．(2018·武汉模拟)函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)A．1　　　　B．－1　　　　C．2　　　　D．－2A　[由f(x＋1)＝，知f(x)＝＝2－.∴f′(x

7、)＝，且f′(1)＝1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k＝1.]2．(2017·天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．121　[∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1.又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.]题型2　利用导数研究函数的单调性■核心知识储备·1．f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x

8、)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．3．利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域(或某子区间)内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(注意不要遗漏等号)■高考考法示例·►角

9、度一　利用导数讨论函数的单调性【例2－1】　(2018·南阳模拟)设函数f(x)＝(x－2)ex＋ax2－ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a＝1，当x≥0时，f(x)≥kx－2，求k的取值范围．[解]　(1)由题意得x∈R，f′(x)＝(x－1)(ex＋a)．当a≥0时，当x∈(