2020版高考数学一轮复习第5章数列第4讲数列求和讲义理(含解析)

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1、第4讲 数列求和[考纲解读] 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.(重点)2.熟练掌握另外几种非等差、等比数列求和的常见方法.(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲一直是高考中的热点,主要考查“错位相减”“裂项相消”“等差、等比数列的公式求和”等.预测2020年高考会考查数列求和或数列求和与不等式的综合.此类问题一般以解答题为主,以中档题型为主.1.基本数列求和公式法(1)等差数列求和公式:Sn==na1+d.(2)等比数列求和公式:Sn=2.非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法;(2)分组求和法;(3)并项求和法;

2、(4)错位相减法;(5)裂项相消法.常见的裂项公式:①=;②=;③=;④=(-).3.常用求和公式(1)1+2+3+4+…+n=;(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2;(3)12+22+32+…+n2=;(4)13+23+33+…+n3=2.1.概念辨析(1)已知等差数列{an}的公差为d,则有=.(  )(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.(  )(3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时只要把上式等号两边同

3、时乘以a即可根据错位相减法求得.(  )(4)若数列a1,a2-a1,…,an-an-1是(n>1,n∈N*)首项为1,公比为3的等比数列,则数列{an}的通项公式是an=.(  )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2.小题热身(1)数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S5等于(  )A.1B.C.D.答案 B解析 ∵an==-,∴S5=a1+a2+…+a5=1-+-+…-=.(2)数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和Sn的值等于(  )A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-

4、答案 A解析 该数列的通项公式为an=(2n-1)+,则Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.(3)数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于(  )A.200B.-200C.400D.-400答案 B解析 设bn=4n-3,则{bn}是公差为4的等差数列,an=(-1)n-1bn.S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=(b1-b2)+(b3-b4)+…+(b99-b100)=-4-4-4-…-4=-4×50=-200.(4)数列{an}的

5、通项公式为an=ncos,其前n项和为Sn,则S2018等于(  )A.-1010B.2018C.505D.1010答案 A解析 易知a1=cos=0,a2=2cosπ=-2,a3=0,a4=4,….所以数列{an}的所有奇数项为0,前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为-2,4,-6,8,…,-2014,2016.故S2016=0+(-2+4)+(-6+8)+…+(-2014+2016)=1008.a2017=0,a2018=2018×cos=-2018,∴S2018=S2016+a2018=1008-2018=-1010.

6、故选A.题型 分组转化法求和                   1.(2018·信阳模拟)已知数列{an}中,a1=a2=1,an+2=则数列{an}的前20项和为(  )A.1121B.1122C.1123D.1124答案 C解析 由题意知,数列{a2n}是首项为1,公比为2的等比数列,数列{a2n-1}是首项为1,公差为2的等差数列,故数列{an}的前20项和为+10×1+×2=1123.2.(2018·合肥质检)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2an+(-1)nan,求

7、数列{bn}的前2n项和.解 (1)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.a1也满足an=n,故数列{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,则A==22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.结论

8、探究 在举例说明2条件下,求数列{bn}的前n项和Tn.解 由举例说明2知bn=2n+(-1)nn.当n为偶数时,Tn=(21+22+…+2n)+[-1+2-3+4-…-(n-1)+n]=+=2n+1+-2;当n为奇数时

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