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《第12讲 数列-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第12讲：数列1、（2009一试7）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为，，，…，(ⅲ)为所求．设第行的第一个数为，则=……故．2、（2010一试4）已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则.【答案】从而，求得，.3、（2013一试8）已知数列共有9项，其
2、中，且对每个，均有则这样的数列的个数为.[来源:学科网]【答案】491【解析】令，则对每个符合条件的数列有，且.反之，由符合条件的8项数列可唯一确定一个符合题设条件的9项数列.记符合条件的数列的个数为.显然中有偶数个，即个；继而有个2，个1.当给定时，的取法有种，易见的可能值只有0,1,2，所以.因此，根据对应原理，符合条件的数列的个数为4914、（2014一试4）数列满足，则=_____.【答案】.5、（2017一试8）设两个严格递增的正整数数列，满足，对任意的正整数，有则的所有可能值为.【答案】13,20.【解析】由条件可知，均为正整数，且由于故反复运
3、用的递推关系知因此而故有另一方面,注意到有当时,(1)(2)分别化为无解.当时，（1）（2）分别化为得到唯一的正整数此时当时，（1）（2）分别化为得到唯一的正整数此时综上所述，的所有可能值为学科/网[来源:Zxxk.Com]6、（2009一试10）已知，是实数，方程有两个实根，，数列满足，，(Ⅰ)求数列的通项公式（用，表示）；(Ⅱ)若，，求的前项和．数列的首项为：．[来源:学科网]所以，即．所以．①当时，，，变为．整理得，，．所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．所以．于是数列的通项公式为；②当时，，．[来源:Zxxk.Com]整理得，．所以，数列成公比
4、为的等比数列，其首项为．所以．于是数列的通项公式为．(Ⅱ)若，，则，此时．由第(Ⅰ)步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以．，解得．故．②当时，通项．由，得，解得，．故．(Ⅱ)同方法一．7、（2010二试3）给定整数，设正实数满足，记．求证：．【解析】由知，对，有．注意到当时，有，于是对，有，故．8、（2011一试10）已知数列满足：R且，N．（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小．【解析】（1）由原式变形得，则．记，则，．又，从而有，故，于是有．（2），显然在时恒有，故．9、（2012一试10）已知数列的各项均为
5、非零实数，且对于任意的正整数，都有（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;（2）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-,1(2)令则从而两式相减,结合得当时,由(1)知;当时,即所以或又所以10、（2012二试4）设，ｎ是正整数．证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于．这里，表示不超过实数ｘ的最大整数．又令,则因此存在使得所以不然一定存在使得因此这与矛盾.所以一定存在使得(2)假设只有有限个正整数使得令则则不存在使得这与（1）的
6、结论矛盾.所以数列中有无穷多项属于.终上所述原命题成立证法二:(1)因此,当充分大时,可以大于如何一个正数,令则当时,因此,对于如何大于的正整数总存在使即否则,一定存在使且这样就有而矛盾.故一定存在使得令则故一定存在使,因此这样的有无穷多个,所以数列中有无穷多项属于11、(2013一试10)（本题满分16分）给定正数数列满足，，这里.证明：存在常数,使得，.[来源:学科网ZXXK]【解析】当时，等价于.对常数，用数学归纳法证明：，.12、（2013二试2）（本题满分40分）给定正整数.数列定义如下：，对整数，记.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.【证明】
7、对正整数，有，所以.设，其中是非负整数，是奇数.取，其中为满足的任意正整数，此时，注意到是奇数，故，所以，是完全平方数.由于有无穷多个，故数列中有无穷多项是完全平方数.学科&网13、(2013二试3)（本题满分50分）一次考试共有道试题，个学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有个学生没有答对，则每个答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每个学生得总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为，求得最大可能值.因为每一个人在第道题上至多得分，故.由于，故有.所以.由柯西不等式得，于是.另一方面，若有一个学生全部答对，其他个学生全部
8、答错，则.综上所述，的最大值为.14、（2016二试4）（本题满分
