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1、传热学大作业——二维物体热传导问题的数值解法1.二维热传导问题的物理描述：本次需要解决的问题是结合给定的边界条件，通过二维导热物体的数值解法，求解出某建筑物墙角稳态下的温度分布t以及单位长度壁面上的热流量φ。1.1关于边界条件和研究对象选取的物理描述：如图所示为本次作业需要求解的建筑物墙壁的截面。尺寸如图中所标注。1.2由于墙角的对称性，A-A，B-B截面都是绝热面，并且由于对称性，我们只需要研究墙角的1/4即可(图中阴影部分)。假设在垂直纸面方向上不存在热量的传递，我们只需要对墙角进行二维问题的研究即可。1.3关于导热量计算截面
2、的物理描述：本次大作业需要解决对流边界条件和等温边界条件下两类边界条件的问题。由于对称性，我们只需研究1/4墙角外表面和内表面的导热量再乘4，即是墙壁的总导热量。2.二维热传导问题的数学描写：本次实验的墙角满足二维，稳态无内热源的条件，因此：壁面内满足导热微分方程：∂2t∂x2+∂2t∂y2=0。在绝热面处，满足边界条件：-λ(∂t∂n)=0。在对流边界处满足边界条件：-λ∂t∂nw=h(tw-tf)3.二维热传导问题离散方程的建立：本次作业中墙角的温度场是一个稳态的连续的场。本次作业中将1/4墙角的温度场离散化，划分成若干小的网
3、格，每个网格的节点看成以它为中心的一个小区域的代表。通过这些节点，采用“热平衡法”，建立起相应的离散方程，通过高斯-赛德尔迭代法，得到最终收敛的温度场，从而完成对墙角温度场的数值解。对1/4墙角的网格划分如下：选取步长Δx=Δy=0.1m，为了方便研究，对导热物体的网格节点进行编码，编码规则如下：x,y坐标轴的方向如图所示，x,y轴的单位长度为步长Δx,取左下角点为(1,1)点，其他点的标号为其在x,y轴上的坐标。以此进行编码，进行离散方程的建立。建立离散方程，要对导热物体中的节点根据其边界条件进行分类（特殊节点用阴影标出）：首先
4、以对流边界条件下的墙角为例1.外壁面上，平直边界节点：建立离散方程：λΔyti+1,j-ti,jΔx+λΔx2ti,j+1-ti,jΔy+λΔx2ti,j-1-ti,jΔy+hoΔxtfo-ti,j=0以(i,j)为中心节点，进一步整理得：ti,j=λ2·ti,j-1+ti,j+1+λ·ti+1,j+ho·Δx·tfo2λ+ho·Δx2.外部角点：建立离散方程：ho·Δxtfo-ti,j+λΔy2ti,j+1-ti,jΔx+λΔx2·ti,j-1-ti,jΔy=0以(i,j)为中心节点，进一步整理得：ti,j=λ2·ti+1,j+
5、ti,j-1+ho·Δx·tfoλ+ho·Δx3.绝热+对流边界角点：建立离散方程：ho·Δy2·tfo-ti,j+λΔx2·ti,j+1-ti,jΔy+λΔy2·ti+1,j-ti,jΔx=0以(i,j)为中心节点，进一步整理得：ti,j=λ2·ti,j+1+ti+1,j+ho·Δy2·tfoλ+ho·Δy24.内部角点：建立离散方程：hi·Δx·tfi-ti,j+λ·Δx·ti,j+1-ti,jΔy+λΔy·ti-1,j-ti,jΔx+λΔy2·ti+1,j-ti,jΔx+λΔx2·ti,j-1-ti,jΔx=0以(i,j)为
6、中心节点，进一步整理得：ti,j=λ2·ti+1,j+ti,j-1+λ(ti,j+1+ti-1,j)+hi·Δx·tfi3λ+hi·Δx5.绝热平直边界节点：建立离散方程：λΔx2·ti,j+1-ti,jΔy+λΔx2·ti,j-1-ti,jΔx+λΔy·ti-1,j-ti,jΔx=0以(i,j)为中心节点，进一步整理得：ti,j=λ2·ti,j-1+ti,j+1+λ·ti-1,j2λ6.对于普通内部节点：建立离散方程：λΔx·ti,j+1-ti,jΔy+λΔx·ti,j-1-ti,jΔy+λΔy·ti-1,j-ti,jΔx+λΔ
7、yti+1,j-ti,jΔx=0以(i,j)为中心节点，进一步整理得：ti,j=λ·ti,j-1+ti,j+1+ti-1,j+ti+1,j4λ等温边界条件下：等温边界下内部节点和绝热边界下的节点离散方程与上述5，6式形式相同，在等温壁面处，节点方程只需写成ti,j=tw即可4.方程的求解：由上图可知，本题中有16*12=192个节点，相应地，就会有192个待求解的离散方程。在如此高阶次的方程组下，根据目前的计算机发展水平，采用克莱姆法则求解是不现实的，因此，采用方便计算机求解的高斯—赛德尔迭代法进行迭代求解。根据数学上的“主对角线
8、占优”原则，在我们采用热平衡法导出差分方程时，如果每一个方程都选用导出该方程的中心节点的温度作为迭代变量，那么迭代一定收敛。在计算过程中往往需要进行足够多的次数，迭代才能收敛。判断收敛的方法是在相邻两次迭代值之差（或相对偏差）的绝对值足够小时，称已
