8.3　空间点、直线、平面之间的位置关系

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1、§8.3空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识　自主学习公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相.1.四个公理知识梳理两点不在一条直线上有且只有一条平行①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).②范围：.(1)位置关系的分类2.直线

2、与直线的位置关系共面直线直线直线异面直线：不同在一个平面内，没有公共点相交平行任何(2)异面直线所成的角锐角(或直角)3.直线与平面的位置关系有、、三种情况.4.平面与平面的位置关系有、两种情况.5.等角定理空间中如果两个角的，那么这两个角相等或互补.两边分别对应平行平行相交直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行1.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2.

3、异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.()(5)没有公共点的两条直线是异面直线.()思考辨析√×√××1.下列命题正确的个数为①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成

4、的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A.0B.1C.2D.3考点自测答案解析②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确.2.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n答案解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确.3.(2017·合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确

5、的是A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC.若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD.若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α答案解析m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；根据线面平行的性质可知C正确；若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________.答案解析45°60

6、°∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝＝＝1，∴∠EGF＝45°，∴∠GBF＝60°.5.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.答案解析4EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.题型分类　深度剖析题型一　平面基本性质的应用例1(1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.

7、充要条件D.既不充分也不必要条件答案解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：①E、F、G、H四点共面；证明连接EF、GH，如图所示，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD.又∵CG＝BC，CH＝DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面.几何画板展示②三直线FH、EG、AC共点.证明易知FH与直线A

8、C不平行，但共面，∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点.思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面