1.2二次函数的图象与性质

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1、二次函数的图象与性质本节内容1.2我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数的图象呢？探究列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取0和一些互为相反数的数，并且算出相应的函数值，列成下表：x…-3-2-10123……9410149…描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点.如下图所示.AA′B′BAA′B′B观察左图，点A和点A′，点B和点B′，…，它们有什么关系？取更多的点试试，你能得出函数y=x2的图象关于y轴对称吗？观察左图，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？y

2、轴右边的所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大的特点吗？可以证明y=x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”.AA′B′B连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来)，这样就得到了的图象.如上图所示.观察下图，函数的图象除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外，还有哪些性质？观察图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“左降”；当x=0时，函数值最小，最小值为

3、0.从下图中可以看出，二次函数的图象是一条曲线，它的开口向上，对称轴与图象的交点是原点（0，0）；一般地，当a＞0时，y=ax2的图象都具有上述性质.于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤.x0123…00.524.5…例1举例画二次函数的图象.因为二次函数的图象关于y轴对称，因此列表时，自变量x可以从原点的横坐标0开始取值.解列表：描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如下图所示：●●●●利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并

4、用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了的图象.如下图所示：●●●●●●●1.二次函数y=6x2的性质有：练习（1）图象的对称轴是，对称轴与图象的交点是；（2）图象的开口向；（3）图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而.上增大减小y轴（0，0）2.在同一直角坐标系中画出二次函数y=3x2及的图象，并比较它们有什么共同点和不同点？y=3x2答：∙∙∙∙∙∙∙∙通过比较以上图象可得出其相同点为：开口均向上；对称轴均为y轴；对称轴与图象的交点都是（0，0）；图象均是“左降”“右升”；

5、当x=0时，函数值最小，为0.y=3x2∙∙∙∙∙∙∙∙探究我们已经画出了的图象，能不能从它得出二次函数的图象呢？在的图象上任取一点，它关于x轴的对称点Q的坐标是，如下图所示：从点Q的坐标看出，点Q在的图象上.Q由此可知，的图象与的图象关于x轴对称，因此只要把的图象沿着x轴翻折并将图象“复印”下来，就得到的图象.如下图中的绿色曲线：Q对称轴是，对称轴与图象的交点是；图象的开口向，y轴O(0，0)下观察下图，函数的图像具有哪些性质？从图中可以看出，二次函数的图象是一条曲线，观察图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而，简称为；图象在对称轴左边的部分

6、，函数值随自变量取值的增大而，简称为；当x=时，函数值最，减小右降增大左升0大0最值为．大当a＜0时，y=ax2的图象都具有上述性质.于是今后画y=ax2(a＜0)的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.举例解列表：例2画二次函数的图象.x012340-1-4描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.利用对称性画出y轴左边的部分.这样我们得到了的图象.说一说如下图所示，在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y=ax2(a＜0)的图象相像吗？

7、以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2(a＜0)的图象的一段.由此受到启发，我们把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y=ax2.一般地，二次函数y=ax2的图象关于y轴对称.抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点.（3）抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而.1.画出二次函数y=-10x2的图象并填空：（1）抛物线的对称轴是，顶点是；（2）抛物线的开口向；y

8、轴原点O(0，0)下减小增大练习2.在同一直角坐标系中，分别画出函