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1、淘出优秀的你第三周 函数定义域、值域重点知识梳理1．在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)
2、x∈A}叫做函数的值域．2．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)函数f(x)＝x0的定义域为{x
3、x≠0}．(5)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．3．抽象函数定义域求法①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(
4、x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．4．几个常见函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.(3)y＝(k≠0)的值域是{y
5、y≠0}．5．求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数．(2)换元法．(3)判别式法．(4)分离常数法．(5)分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．典型例题剖析例1 (1)函数f(x)＝的定义域是________．(2)若函数y＝f(x)
6、的定义域为[－3,5]，则函数g(x)＝f(x＋1)＋f(x－2)的定义域是( )A．[－2,3]B．[－1,3]C．[－1,4]D．[－3,5]9淘出优秀的你【答案】(1){x
7、x>－且x≠1} (2)C【解析】(1)由题意得，解得x>－且x≠1.∴定义域为{x
8、x>－且x≠1}．(2)由题意可得解不等式组可得－1≤x≤4.所以函数g(x)的定义域为[－1,4]．变式训练 已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝f(2x－1)的定义域是( )A．[0，]B．[－1,4]C．[－5,5]D．[－3,7]【答案】A【解析】由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，∴y＝f(x
9、)的定义域为[－1,4]，由－1≤2x－1≤4，得0≤x≤，故函数y＝f(2x－1)的定义域为[0，]．例2 求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；(2)f(x)＝x－；(3)y＝；(4)y＝.【解析】(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵y＝(x＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)(换元法)9淘出优秀的你令＝t，则t≥0且x＝，于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是.(2)(分离常数法)y＝＝＝2－，∵－≠0，∴y≠2，∴值域为(－∞，2
10、)∪(2，＋∞)．(4)方法一：(配方法)∵y＝1－，又x2－x＋1＝2＋≥，∴0<≤，∴－≤y<1.∴函数的值域为.方法二：(判别式法)由y＝，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，∴－≤y<1.∴函数的值域为.【小结】求函数的值域时要注意定义域优先原则，即先确定函数的定义域，然后再求值域，如本例中第(2)小问．在利用换元法求值域时，换元后一定要写出新元的取值范围，再在这个范围下求值域．变式训练 求下列函数的值域(1)y＝； (2)y＝2x－3＋.9淘出优秀的你【解析】(1)由－2x2＋x＋3
11、≥0，解得－1≤x≤，∴定义域为[－1，]．令u(x)＝－2x2＋x＋3＝－2(x－)2＋，∵∈[－1，]，且u(x)图象开口方向向下，∴当x＝时，u(x)max＝，ymax＝＝，当x＝－1或x＝时，u(x)min＝0，ymin＝0，∴函数值域为[0，]．(2)令t＝，则t≥0，且x＝，于是y＝2·－3＋t＝(t＋1)2＋3，由于t≥0，则(t＋1)2≥，所以y≥＋3＝，故函数的值域是[，＋∞)．例3 若函数f(x)＝的定义域为R，则m的取值范围为________．【答案】[0,4]【解析】∵函数f(x)＝的定义域为R，∴mx2＋mx＋1≥0在R上恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m
12、≠0时，则∴00，Δ≥0，即m≥9或0
