中学数学研究-陕130131复合函数求导规律的探究与教学思考

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1、资料编号14596导数复合函数求导黄如炎发表在陕130131上属于教法、辅导、教材题为《复合函数求导规律的探究与教学思考》黄如炎（福建省闽清高级中学)教师：你的提问很有智慧！我们再从复合函数的单调性等性质看看能否做出更富有情理的推测.请大家思考：由两个单调函数复合而成的函数具有怎样的单调性？由两个奇偶函数复合而成的函数具有怎样的奇偶性？学生由一增一减的两个函数复合而成的函数为减函数，由同增（或同减）的两个函数复合而成的函数为增函数.学生由一奇一偶的两个函数复合而成的函数为偶函数，由两个奇（或偶）函数复合而成的函数为奇(或偶）函数.教师：大家从中悟出了什么？教师：（有的学生脸上露出有所悟的表

2、情，笔者再启发）如果把函数递增看为“正数”，函数递减看为“负数”，那么由一增一减的两个函数复合而成的函数为减函数，其单调性可看为：“正数”ד负数”=“负数”，由同增（或同减）的两个函数复合而成的函数为增函数，其单调性可看为：“正数”ד正数”=“正数”（或“负数”ד负数”=“正数”).若把奇函数为为“奇数”，偶函数看为“偶数”，则由一奇一偶的两个函数复合而成的函数为偶函数，其奇偶性可看成什么？（众生：“奇数”ד偶数”=“偶数”），由两个奇（或偶）函数复合而成的函数为奇（或偶）函数，其奇偶性可看成什么？（众生：“奇数”ד奇数”=“奇数”或“偶数”ד偶数”=“偶数”）众生（激情绽放）

3、：这种类比推测顺理成章呀！原来数学是这样的有规可循！教师：是啊，数学就是这样的合乎情理，体现了其理性美、科学美、艺术美.即y对x的导数等于y对z的导数和z对x的导数的乘积.2教学思考2.1揭示知识形成，让知识返璞归真教材中的知识多数是以学术形态呈现，它们是经过归纳整理后简洁的“知识成品”，是通过竣式.验收后美丽的“楼堂馆所”，但对学生来说它们是莫名其妙的“天外来物”.《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型.例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念，结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为

4、学生易于接受的教育形态”[1].数学家和教师创造的最大区别在于数学家是发现数学概念而数学教师是发现数学概念的理解过程，教材的学术形态给教师的教学创造留下了广阔的空间.教师要通过对教材的精心创作，在课堂上给学生还原“脚手架”，让学生看清楼房是怎样建构起来的，让知识的形成返璞归真，让学生像数学家一样经历数学知识的发现过程.由于受所学知识限制，教材不要求推导复合函数的求导公式，而是通过函数直接给出复合蜗数的定义及求导公式[2]:，掩盖了复合函数的定义及求导公式的发现过程.本案例改变了“教教材”的传统观念，践行了“用教材教”的新课程理念，课堂让学生在熟悉的知识和经验中发现复合函数的定义，通过观察、

5、运算、归纳、类比，合情推理复合函数的求导公式，使学生在学习探究中达到深切体验，真情感悟，使数学学习言之有理.2.2提炼探究素材，让探究行之有效“良好的开端等于成功的一半”.本案例通过：y为使课堂有一个良好的开端，让课堂探究活动行之有效，教师必须创设问题情境，提炼探究素材.探究材料可从学生熟悉的生活环境中选取，也可从与学生相关的知识背景中选取，还可从教科书、学生作业的典型解法（含错误方法）、学生的学习疑惑与学习心得中选取.对初步的选材要精雕细琢，使材料顺应学生的认知规律，让学生在新的情境中能“触景生情”.材料还应有一定思维度，能启迪学生的心智，学生根据已有的知识和经验，经过冥思苦想后豁然开朗

6、.由新知寻找相关旧知材料时，可用类比的方法，因为相关的知识，在形成和研究方法上可能有类似的地方，也可利用特殊与一般的关系，由特殊引出一般或由一般引出特殊.归纳推理和类比推理是数学发现最有效的方法，它是由特殊到一般和特殊到特殊的推理方法，这种合乎情理的推理学生喜闻乐学也易于接受.笔者认为归纳和类比这一合情推理应始终贯穿整个中学数学教学过程.为了系统学习推理与证明，教材把合情推理安排在髙中《选修2-2》中，但这不意味着要到《选修2-2》即学生进入高三时才学习合情推理，如果教学真是那样按部就班的话，中学数学中很多探究活动将无法进行，学生探究和发现的能力也难以形成.2.3注入教学情感，让学习幸福快

7、乐教学是一门爱的艺术.教师带着激情和“爱情”上课，让学生幸福快乐的学习，这是最髙效、最智慧的教学.本案例中的情感教育给学生B带来的心灵震撼让其产生巨变就是成功的典范.德国教育学家第斯多惠认为：“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞.”苏霍姆林斯基指出“如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲惫.”心理学研究表