中学数学研究-陕080403高中数学课程中的二分法

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1、资料编号14399函数二分法张劲松发表在陕080403上属于教法、辅导、课例题为《高中数学课程中的二分法》二分法是《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》)新增的内容之一.从笔者对《标准》的理解、教材编写的经历以及教学实践的角度看，增加这部分的主要目的，一是加强函数与方程的联系，突出函数的应用，用函数的观点看待某些方程，通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的解等同起来；二是二分法这部分内容较好地体现了算法的思想，其有效、快速、规范的求解过程，可以为后面学习算法内容做必要的准备.教材安排遵循上述两个主

2、要目的，二分法首次出现在《数学1》中，然后在《数学3》中作为算法的具体素材.近期，笔者共同参加了“用二分法求方程的近似解”这堂课的教学研究过程，深感需要进一步探讨的问题很多.回来后查阅了相关资料，结合笔者的体会，写了点东西，与大家共同交流.方程求解问题既是数学科学研究的基础问题，也是中学数学课程中学生必须掌握的基础知识和基本技能，在数学科学和中学数学课程中占有重要地位.本文在回顾历史上方程求解问题的基础上，先从算法的角度阐述二分法的本质，然后对“用二分法求方程的近似解”中需要注意的几个问题进行说明，最后简要谈一下信

3、息技术环境下如何理解二分法.1方程求解问题的历史回顾我们知道，自然科学、工程技术、经济、医学以及其他领域中产生的许多实际问题都可用被学语言描述为数学问题，或者由实际问题建立数学模型.含有未知数的等式——方程，是其中重要的数学模型之一.是否有解、有多少解、怎样求解等方程问题，不仅具有现实意义，而且也是数学研究的主要问题，更是推动代数科学发展的源泉和动力之一.在古代，代数学科就是解方程的学问.由未知数和常数进行有限次的加、减、乘、除、乘方、开方等代数运算所组成的代数方程是最重要的方程，代数方程包括有理方程和无理方程，与

4、代数方程相对的是超越方程.一元一次方程、一元二次方程既是最简单的代数方程，也是初中数学课程的重要内容.寻求解方程的通法和一般解(准确解或精确解），既是贯穿代数学科的一条主线，也是学生必须掌握的基础知识和基本技能，它在数学教学中的价值不言而喻.现代数学的基础课程之——_高等代数学科就是研究代数方程，线性方程组是否有解、有多少解、怎样求解的一门学科.在寻求代数方程解的过程中，我们运用整除、带余除法、辗转相除法等工具；同样在寻求线性方程组解的过程中，引进了行列式、矩阵等工具，通过行列式、矩阵等运算求解线性方程组.从数学发

5、展史的角度看，早在古巴比伦时代，人们就已经掌握了解（一元）二次方程的方法.但是直到公元9世纪，才由阿拉伯数学家花拉子模（AL-Khowarizmi,约公元780〜850)开始对二次方程的一般解法进行系统的、理论性的研究，并给出了求根公式.中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问，直到19世纪，解方程一直是代数学的中心课题，通过灵活运用各种运算法则和运算律，对方程进行恒等变形，直至把它变形为一元一次方程.在花拉子模发现二次方程的求根公式后，中外数学家们自然联想到三次、四次方程的一般解的问题，对它们的研究经历

6、了很长的时间，其中中国古代的努力方向主要放在求方程的数值解上，尽管能求得三次、四次甚至更高次的代数方程任意精度的数值解，但始终未能获得三次、四次方程的一般解.以通性求通解，追求方程解的一般理论，始终是数学家不懈努力追求的目标.从花拉子模算起，经过中外数学家们700多年的艰苦努力，三次、四次方程的公式求解问题——一般解，终于在16世纪被意大利数学家圆满解决.接下来，数学家们自然把目光投向了下一个研究目标：一般的五次或更高次的方程是否也能像二次、三次、四次方程那样用公式求解.也就是说，对于形如之所以写这部分内容，是因为

7、笔者深感结合这堂课的内容，向学生适当介绍方程求解的历史，无论是从数学历史发展的角度，还是从数学科学研究的问题的角度都是必要的.在当前的教学中，这方面我们稍显薄弱.实际上，在我们的教学中，结合某一具体的内容，在讲述这段内容发生、发展的历史过程中，提炼这段内容蕴涵的数学思想方法，对于学生来讲，有利于拓展数学视野，有利于深化数学认识，有利于数学文化熏陶，有利于理性精神的培养.这对学生未来的发展是潜移默化的.为达到上述目的，教科书进行了很多尝试：（1)正文的叙述.一方面，突出过程：在加强背景和应用的基础上，强调数学的本质；

8、另一方面，强调思想：讲历史、讲思想、讲文化.数学的发生、发展首先是历史的重要组成部分，其次也有其自身发展的历史足迹.（2)设置“阅读与思考中外历史上的方程求解”“信息技术应用借助信息技术求方程的近似解”等拓展性栏目，作为教学内容的延伸和发展.（3)开设“数学史选讲”等专题，让学生从历史发生、发展的角度体会方程求解的过程及其思想.2二分法——求方程近似解的一种