期中复习3推理和证明

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1、期中复习3推理与证明一、知识点梳理:1、合情推理：归纳推理和类比推理归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。归纳推理的一般步骤：⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑶检验猜想。类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。类比推理是一种从特殊到特殊的推理。类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2

2、）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。合情推理所得的结论只是一种猜测，它可能是正确的，可能是错误的。若有反例则猜测错误，若正确则需逻辑证明。2、演绎推理：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、定理、公理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的过程.,

3、演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式--------“三段论”⑴大前提---已知的一般原理，因为，M是P⑵小前提---所研究的特殊情况，因为，S是M⑶结论----据一般原理，对特殊情况做出的判断.所以，S是P演绎推理所得到的结论必是正确的。3、数学证明大法：（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的一种证法.综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的

4、结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.分析法的思维特点是：执果索因，一步一步寻求结论成立的充分条件，其逻辑特征是步步逆推；（3）反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立一种证明方法。反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。（4）数学归纳法：对一个与正自然数有关的数学命题(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论

5、正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确　常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。4、其它数学证法：（1）放缩法.（2）函数单调性法（3）构造法：构造函数、构造方程、构造二项式、构造几何图形等（4）“Δ”法（5）数形结合法（6）换元法：代数换元、三角换元（7）分类讨论法（8）导数法法。（9）先猜后证法。等等.二、典例讨论：例1：（1）下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a的性质

6、a

7、2=a2类比得到复数z的性质

8、z

9、2=z2；③方程有

10、两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是()A.①③B.②④C.①④D.②③答案：D。解析：由复数的性质可知。（2）定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是()（1）（2）（3）（4）（A）（B）A.B.C.D.答案：B。（3）在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的。答案：。解

11、析：采用解法类比。（4）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出的性质；从对数函数中可抽象出的性质。那么从函数(写出一个具体函数即可)可抽象出的性质。答案：y=2x。解析：形如函数y=kx(k≠0)即可，答案不惟一。（5）利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是（）ABCD答案：C。（6）命题“关于x的方程的解是唯一的”的结论的否定是（）A、无解B、两解C、至少两解D、无解或至少两解答案：D。解析：“否定”必须包括所有的反面情形。例2：(分析法)△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证

12、：。答案：证明：要证，即需证。即证。又需证，需证∵△ABC三个内角A、B、C成等