定轴转动刚体的动能计算

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1、定轴转动刚体的动能计算及一些简单应用®二零零四级理学院二班孙阳PB04203034本幻灯片参考材料：《力学》，杨维纮，中国科学技术大学０４级理学院教材。其他便没有了。限于客观原因，作者并没有准备充分资源。日后若条件允许，也许能做出更有价值的成果。版权所有，商用付酬。本文拟得出定轴转动下刚体的动能表达式，并讨论教材例6.4中电熨斗模型的改良及其他一些简单应用。我们已知，定轴转动刚体的转动惯量I、角速度ω分别与直线运动中刚体的质量M、速度v对应，但教材上并未给出计算刚体旋转动能的公式。我们猜想刚体的动能是否为下面来证明此公式：设所有刚体均匀，密

2、度为1，则质量和体积在数值上相等。　　考虑半径为Ｒ的圆环绕轴线转动：成立。半径为R的圆盘绕轴线转动：成立。长为l的直细棒绕中垂线转动：成立。不规则的物体绕任意定轴转动：成立。这便证明了刚体定轴转动的动能公式。下面是一些分析：1．这个动能是刚体在视轴为静止的参考系下“所有”的动能。若转轴亦运动，求刚体的总动能只需再加上刚体关于轴速度的动能，即2．由　　　　可知，既然能量是线性的，定轴转动的刚体的转动惯量也是线性的。3．若刚体在轴A的转动惯量IA已知，由分析2及平行轴定理，将轴移到B点时刚体的动能为4．由分析2及正交轴定理可求出刚体作定点转动

3、的动能公式：5．由分析1～4可得刚体作任意运动的一般的动能公式：其中　　　　　包含刚体质心系中刚体的动能，这里不再推了。在教材例6.4中我们知半径r、自转角速度ω、平动速度v<<ω、滑动摩擦系数μ、对地面压力N的圆盘受阻力摩擦力集中在上半个月牙形内。ＣＯＣ’由于滑动摩擦力μN与接触面积无关，若切去盘中心O半径为的小圆盘，如图易知摩擦力增加ＣＯＣ’ＰＱ其中Δf是区域P、Q的摩擦力，P、Q的圆心分别是C和C’。在吸尘器模型中，设吸尘器使用距离为s，采用开孔的底盘，增加了摩擦力，却减少了驱动底盘转动的能量。当时，即时整体来讲是节省了能

4、量的。ＣＯＣ’ＰＱr1为小盘半径。在实际生活中，各项数值如下：ＣＯＣ’ＰＱm小盘：2kgω：8π(4Hz)r1：0.25mr：0.3mv：0.2m/sμ：0.3N：5kg＊g＝50N．解得：s最大值是41.28m．这样的距离不用说是家用吸尘器，除草都行了。因此，吸尘器底部做成圆环更节能。由本文前面特殊情况刚体动能公式，半径为r，环壁厚为1(r＜＜1)的圆环与半径为R的圆柱绕轴线转动的情况如下：当转动周期、密度相同时，若，则I１＝I２，E１＝E２．亦即，半径ｒ的圆环与半径Ｒ的圆柱如此旋转时有相同动能，但可见角速度一定时，欲使较小质量刚体获得

5、较多转动动能，须使其质量远离转轴；反之，使刚体得到较少能量就达到某转速，质量需向轴集中。若圆盘剖面如图，质量向轴集中，则使其转速达到ω所需的能量就较少。将这种情况应用于吸尘器，平动摩擦阻力f仍不变。故将底盘质量向轴集中也能节省动能。　　另外，我们可见，调整绕轴线转动圆盘的质量分布，可以影响能量与转速的对应关系。将动能（可由电能转化而来，而电能容易控制）作输入，转速作输出，同时对转子的质量分布加以调整；或者反过来，以转速作输入，能量作输出；这种方法应是有广阔的应用前景。转轴ＦＩＮ