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《(经典)讲义：等比数列与其前n项和》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、-（经典）讲义：等比数列及其前n项和1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式n－1设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·q.若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·a
2、n.12(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，an，{an}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；a1－qna1－anq当q≠1时，Sn＝1＝q.－q1－1【注意】6.利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋,＋a1qn－1
3、，同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋,＋a1qn，两式相减得a1－qnq≠．(1qSn＝a1－a1qn，∴Sn＝1(1)－)1－q7.1由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.--7.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，--1--防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．8.等比数列的判断方法有：an＋1an*(1)定义法：若an＝q(q为非零常数)或an－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N)，则{an}是等比数列．(2)中项公
4、式法：在数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an〃an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c〃qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．一、知识梳理1.等比数列前n项和公式n探索导引:a1(1q)a1anq(q1)(1)Sn求和1q1q263na1(q1)S124说明：对于等比数列的前n项和公式:从方程观点看:由等比数列的前n项和公式及通项公式可知,若已知a1,q,n,an,Sn中的三个即可建立方程组求其余两个,即“知三求二”.在运用等
5、比数列的前n项和公式时，一定要注意讨论公比q是否为1.2.与前n项和有关的等比数列的性质(1)若等比数列{an}中,公比为q1,依次k项和探索导引:Sk,S2kSk,S3kS2k,成公比为qk的等比数列.等比数列{an}中，已S偶q.知，S220,S460，(2)若等比数列{an}的公比为q,且项数为2n(nN),则求S6，并考虑等式S奇说明：利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质时,要注S2(S6S4)(S4S2)2意是Sk,S2kSk,S3kS2k,成等比数列,而不是Sm,S2m,S3m,成等比
6、是否成立？数列.二、方法（一）等差数列前n项和公式的应用----2--理解例题1:在等比数列中，（1）已知a13,q2,求a6,S6；（2）已知a12.7,q1,an1,求n；（3）已知a13901,a464,求q和S4；（4）已知a33,S39求a1,q；22分析:在等比数列中有五个重要量a1,an,q,n,Sn,只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中a1和q两个最重要的量,通常要先求出a1和q.解:(1)a6a1q532596.a(1q6)3(126)S61189.1q12(2)ana1qn1，12.7
7、(1)n1n6a1q3，90q3，3(3)a464q4S4a1a4q164(4)511q1(4)a3a1q23（1）(4)2a1(1qq2)9（2）S32（2）÷（1）得1qq23q22q2q10q1或q12当q1时，a13，当q1时，a1622（二）与等差数列前n项和有关的性质的应用理解例题2:等比数列{an}中Sm12,S2m36,求S3m.分析:在有关等比数列的问题中,均可化成有关a1、q的关系列方程求解.本题中注意下标的关系,可考虑用等差数列前n项和的有关性质来简化运算.解法一:由Sm12，S2m36,
8、可知q1（若q1,S2m2Sm）a(1qm)Sm1121q解得1qm3，a(1q2m)S2m136,1qm2,a112q1qS3ma1(1q3m)841q解法二:Sm,S2mSm,S3mS2m成等比数列Sm(S3mS2m)(S2m2Sm)S3m362482412--知识体验:已知等比数列的五个量a1,an,q,n,Sn中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其及前n项和公式
