《3.4 导数在实际问题中的应用》导学案

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1、《3.4导数在实际问题中的应用》导学案课程学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课程导学建议重点:把实际问题转化为数学问题，用导数方法解决数学问题.难点:从实际问题中抽象出数学模型并建立数学模型.第一层级知识记忆与理解知识体系梳理创设情境饮料瓶大小对饮料公司利润有何影响？下图是某种品牌饮料的三种规格不同的产品，它们的价格如下表所示:规格(L)21.250.6价格(元)5.14.52.5　　(1)对消费者而言，选择哪一种更合算呢？(2)对制造商而言，哪一种的利润更大呢？

2、知识导学问题1:一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有　极值　，再求出端点的函数值，进行比较，就可以得出函数的最大值和最小值. 问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为　优化　问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具，可以运用导数解决一些生活中的优化问题. 问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x)；(2)求函数的　导数f'(x)　，解方程f'(x

3、)=0； (3)比较函数在区间端点和　极值　点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. 问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的　定义　区间，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去. 知识链接解决优化问题的基本思路:(1)分析实际问题中各个量之间的关系；(2)列出实际问题的函数模型；(3)写出实际问题中变量之间的函数关系式；(4)求导数，解方程，得极值；(5)比较函数在区间端点函数值和极值的大小，得最值；(6)把数学问题的结果转化为实际问题的答案.基础学习交流1.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，这两个正方形面积的最小值为(　　).　　　

4、　　　　　　　　　　　　　　　A.2B.4C.6D.8【解析】设两段长分别为x，16-x，则两个正方形的边长分别为，，其面积和为S=()2+()2=，00，所以x=8时，面积和S取极小值，也是最小值，最小值为8.【答案】D2.要做一个圆锥形漏斗，其母线长20cm，要使其体积最大，则其高是(　　).A.cmB.100cmC.20cmD.cm【解析】设圆锥形漏斗的高为xcm，则底面半径为=，体积V=π(400-x2)x=x-x3，00，

5、当0，当

6、48-2x)cm，高为xcm，所以容积为V=(48-2x)2x，00，函数递增；当8

7、的成本为3元/千克，试确定销售量价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【方法指导】(1)由f(5)=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；(2)商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值.【解析】(1)因为x=5时，y=11，所以+10=1