BF性控制系统的能控性和能观测性-1节

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1、线性连续定常系统的能控性线性连续定常系统的能观测性线性连续时变系统的能控性和能观测性对偶性及对偶系统能控和能观测标准型线性系统的结构分解传递函数的最小实现第三章线性控制系统的能控性与能观测性2021/7/131能控性和能观测性基本概念：状态空间描述的两段性：20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。状态方程：描述了输入引起的状态变化输入能够控制状态（控制问题）输出方程：描述了状态变化引起的输出改变状态能否由输出反映（估计问题）[背景]：2021/7/132直观概念:系统的结构图如下显然，只能控制而不能影响，我们称状态变量是可控的，而是不可控的。只要系统中有一个状态变量是不可

2、控的，则该系统是状态不可控的。能控性：指外输入u(t)对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题有些状态分量能受输入u(t)的控制，有些则可能不受u(t)的控制。受u(t)控制的状态为能控状态，不受u(t)控制的状态为不能控状态2021/7/133指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。能观测性：有些状态能通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能。能通过y(t)反映的状态为能观状态，不能通过y(t)反映的状态为不能观状态直观概念:系统结构图如下显然输出中只有，而无，所以从中不能

3、确定，只能确定。我们称是可观测的，是不可观测的。2021/7/134第一节线性连续定常系统的能控性状态能控性严格定义状态能控性判别准则（3种）输出能控性2021/7/135一、状态能控性定义如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在的有限时间内使得系统的某一初始状态转移到任一终端状态，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，即能控状态充满整个状态空间，则称系统是状态完全能控的。不失一般性，常选择终止状态为状态空间原点。即：2021/7/136二、状态能控性判别准则1、判据一（能控性判别矩阵）定理1：对于线性连续定常系统：状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：满秩即：[证明

4、]：略证明目标：对系统的任意的初始状态，能否找到输入u(t)，使之在有限时间内转移到零。则系统状态能控。2021/7/137[例]判别如下系统的能控性[解]：1）构造能控性判别矩阵：故系统状态完全可控2）求能控性判别矩阵的秩2021/7/1382、判据二（标准型法）[前提条件]：线性变换不改变系统的能控性。则有：其中：[证明]：对于变换后的方程，其能控性判别阵为：2021/7/139由于P为非奇异满秩阵，则也为满秩阵。根据矩阵和一个满秩的乘积其秩不变的性质有：[证毕]定理2：设线性系统具有两两相异的特征值则其状态完全能控的充分必要条件是：系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：中，不包含元

5、素全为0的行。2021/7/13101）[例]：考察如下系统的能控性：状态完全能控3）状态完全能控状态不完全能控X2状态不能控2）2021/7/1311中，阵中与每个约当小块最后一行所对应的元素不全为零。定理3：设线性系统具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：2021/7/1312状态完全能控状态完全能控[例]：考察如下系统的状态能控性：2021/7/1313状态不完全能控X2状态不能控2021/7/1314定理4：SISO线性系统，则其状态完全能控且能观测的充分必要条件是其传递函数的分子分母间没有零、极

6、点对消。3、判据三（S平面分析法）说明：在传递函数和能控性、能观测性的关系中讲2021/7/1315三、输出能控性前提：在实际的控制系统设计中，需要控制的是输出，而不是系统的状态。因此，就需要研究输出的能控性。定义：考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统：如果能找到一个无约束的控制向量u(t)，在有限的时间间隔to≤t≤tf内，把任一初始输出y(to)转移到任意最终输出y(tf)，那么称系统为输出能控的。不失一般性，一般选终端输出为02021/7/1316输出能控性判据：系统输出能控的充要条件是输出能控性判别矩阵：的秩为m。其中m为输出维数。2021/7/1317[例]：判断下列系统

7、的状态能控性与输出能控性[解]：秩小于2，所以状态不完全能控。1、状态能控性判断：秩等于输出维数1，所以输出能控。2、输出能控性判断：说明：状态能控性和输出能控性是两个完全不同的概念，没有必然联系。某系统状态不完全能控，输出有可能完全能控。2021/7/1318[本节小结]：1、线性定常系统状态能控性的概念2、线性定常系统的状态能控性判据判据1：能控性判别矩阵法，能控性判别阵满秩判据2：标准型法（对角线标准型、约当标准型）判据3：S