平均曲率平方的变分问题

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1、北京交通大学硕士学位论文平均曲率平方的变分问题姓名：王换清申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：吴发恩20080501IE塞交逼盔堂亟±堂焦途塞△旦墨!B△￡IABSTRACTABSTRACT：Let∑beacompact．possiblywithboundary,curvedsurfacein3-dimensionalspaceformE3．ConsideWillmorefunctionalastomeancurvature’SsquareF(f)=p2姒=卢2q(f)^岛(f)，whereHistheme

2、arlcurvature。fcurvedZ￡surfaceclusterX：Y．x(-1，1)专R3，and以=81(t)^02(t)isthevolumeelementofit．Thenusingthebasictheoryastovariationofcurvedsurface，wecancalculatethefirstVariati。nalformulaofF(f)whent=0，F’(o)=fa(AH+2H3-2Kay)o,人幺，whereaisn锄al㈣pon铋ts。f喇ationalVector删d

3、等b．溉锄砍o)=。，wec柚figureoutthesecondvariationalformulaofF(t)，fort=0，。(。)2』哇池)2+口衄(日2—2K)+2砍6H2一K)(日2一K)+2胁％％)幺^岛Where％denotethecomponentsofthesecondfundamentalformofcurvedsuufaceX(，O)．Specially,ifwechoosethat∑betorusinR3，thatisr(O，缈)=((口+rcos缈)cosO，(口+rcosrp)sin

4、0，rsinrp)，0<，

5、或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。(保密的学位论文在解密后适用本授权说明)学位论文作者签名：导师签名：冕岔粤签字日期：年月日签字日期：口罗年台JC,日独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究

6、所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名：签字日期：年月日致谢本论文的工作是在我的导师吴发恩副教授的悉心指导下完成的，吴发恩教授严谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢二年来吴发恩老师对我的关心和指导。吴发恩副教授悉心指导我完成了论文的准备工作，在学习上和生活上都给予了我很大的关心和帮助，在此向吴发恩老师表示衷心的谢意。吴发恩副教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷心的感谢。在论文准备及撰写期间，赵新暖、张宏等同学对我论文中的研究工作给

7、予了热情帮助，在此向她们表达我的感激之情。另外也感谢家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。序微分几何学的产生和发展是与数学分析密切相连的，在这方面做出贡献的有瑞士数学家欧拉，法国数学家蒙日，德国数学家、天文学家和物理学家高斯，德国数学家克莱因等等．经过近300年的发展，微分几何逐渐成为数学中独具特色、应用广泛的独立学科．变分学作为微分几何中的一个重要分支，在实际生活中有着非常广泛的应用。变分法是处理函数的函数的数学领域，它是求解边界值问题的强力工具。微分几何中的测地线、极小子流形、极小曲面、调和映

8、射等都是某类变分问题的临界点．曲面的面积泛函h的变分问题已经有了很系统的结论，进一步可以研究泛函●ZF(t)=lH2姐的变分问题。主本论文运用变分学的基本理论，推导出Willmore泛函，(f)=l胃2以在f=0时的一阶、二阶变分公式。另一方面，从F(f)=，H2杈在仁。时的一阶变分公式，Z归纳出Euler—Lagrang方程在环面成立的充要条件。1引言微分几何是数学的一