参数激励耦合系统的复杂动力学行为分析

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1、万方数据第35卷第3期2003年5月力学报ACTAMECHANICASINICAV01．35．No．3May,2003参数激励耦合系统的复杂动力学行为分析”毕勤胜陈章耀朱玉萍邹勇(江苏大学理学院，镇江212013)∞月摘要分析了耦合vanderPol振子参数共振条件下的复杂动力学行为基于平均方程。得到了参数平面上的转迁集，这些转迁集将参数平面划分为不同的区域，在各个不同的区域对应于系统不同的解．随着参数的变化，从平衡点分岔出两类不同的周期解，根据不同的分岔特性，这两类周期解失稳后，将产生概周期解或3-D环面解，它们都会

2、随参数的变化进一步导致混沌．发现在系统的混沌区域中，其混沌吸引子随参数的变化会突然发生变化，分解为两个对称的混沌吸引子．值得注意的是，系统首先是由于2一D环面解破裂产生混沌，该混沌吸引子破裂后演变为新的混沌吸引子，却由倒倍周期分岔走向3．-D环面解，也即存在两条通向混沌的道路：倍周期分岔和环面破裂，而这两种道路产生的混沌吸引子在一定参数条件下会相互转换．关键词耦合vanderPol振子，转迁集，分岔，混沌吸引子，环面引言参数激励现象在实际工程系统中广泛存在，如流体诱发振动、轴向激励板及梁的横向振动等等．基于振荡器的vR

3、nderPol方程则是最简单的参数激励系统之一．而在实际系统中，由于存在着各种模态的作用，其动力系统大都表现为多自由度耦合振子，其相应的动力学行为也相对复杂，引起了国内外学者的广泛关注．有关耦合vanderPol振子的工作已有许多报道．Rand和Holems[1J得到了其锁相解的存在条件，Dieci等人【2】提出了计算其不变环面的数值方法，Gilsinn[3J结合符号推导和Galerkin方法给出了系统的不变环面解，Ge和Leung[4]用增量谐波平衡法研究了系统的解及其稳定性．近几年来，Maccari[5,6J提出了

4、一种新的渐近方法(AP)来分析非线性耦合振子的解，他发现在一定条件下，该耦合系统中有无穷周期解存在n基于Melnikov方法【8J，Tien等人【9J分析了耦合振子的混沌存在条件，Malhotra和Namachchivaya[”J探讨了两自由度耦合非线性振子的全局分岔，Bolotin等人【1I】直接用模态展开法讨论了气流激振下曲梁的解及其稳定性．这些工作大都是基于单频外激励情况下的，对于两个不同外激励频率的研究工作尚不多见．本文正是基于这样一个背景，分析在两个不同外激励频率作用下系统的复杂动力学行为．我们利用其平均方程

5、，得到其参数平面上的转迁集，从而将参数平面划分为对应于不同解的区域，进而给出系统的分岔特性及其通向混沌的过程．我们发现，2-D环面破裂导致混沌，而该具有对称性的混沌吸引子在一定条件下会分解为两个新的混沌吸引子，倒倍周期分岔走向3-D环面解，也即存在两条通向混沌的道路：倍周期分岔和环面破裂．参数继续变化时，存在另一不同的由周期倍化分岔产生的混沌吸引子．1平均方程我们考虑如下两耦合非线性参数激励VailderPol振子i+(u}一26flcos(alt))=一ex(x2+y2)+￡(pl+z2+ay2碡=0女+(咙2—2e

6、12cos(02t))y一6y(x2+y2)+￡(肛2+bx2+矿措=0其中0d1，吨为不可约固有频率．s为小参数．为分析其在1／2参数共振下系统的动力学行为，引入调谐参数al，0"2，令昏譬佃，，u；=譬+s∞2002-03-12收到第一稿，2003-02-17收到修改稿1)国家自然科学青年基金资助项l!l(19902012)和江苏省创新人才基金资助项目(BK2002401)盈江苏省教育厅自然科学基金资助项目(0tKJBll0003)．．：；滚鎏滋黼，万方数据竺旦————————————一．塑兰堡!!竺兰竺翌兰设解为

7、z=ptcos(；研t+p-)，Ⅳ=P2c。s2分岔分析(；仍￡+如)，令u，=Plcos钆”。=p。sin钆表1给出了系统(3)的定常解及其稳定性条件．U2=P2COSp2，”2=P2sin82，由平均法可得其中ul=～=p1"1百0,1+fl”，一10l_面3”-)(；u。一赢1”，)(u；+”；)Ii“-一獗”，，㈨+”1)啦等u-一严1一(去u。+∽”12——历『-“1一j肛-”-～l：i两“t+i”-J”22一ip2u2(去u。+：”。)(u；+”；)l而“-+i”tJ(“i+”j)0"2+，2，l3、百也一

8、Ii抛一砺”。J(射一”；)一(：02-丽1”。)(u{+嵋)0"2一，21，31、也2百地一iM2一【砺”z+i”zJ(“；+”22)一(丽1u。+翱(u；+”})显然式(3)保留了原系统Z2oZ2的对称性．足(3)△1=(48G1—4p1瑶)216(瑶+36)(40"}+p}研一4斤)(4a)A2=(480"2—4,U2嗜)2