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时间:2019-05-13
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1、分式的运算专题讲座安徽李庆社 1、分式的乘法 分式的乘法法则:两个分式相乘,分子的积作为积的分子、分母的积作为积的分母. 用式子表示为:. 进行分式的乘法运算时应注意: ⑴在分式乘法的计算结果中,要进行约分,使结果保留为最简分式. ⑵有些分式在相乘前要先进行因式分解,再约分、最后运算. 例1:计算:⑴;⑵;⑶. 【解析】⑴是两个分式的乘法,只要运用法则就行了;⑵是一个整式与一个分式之间的乘法运算,我们可以把整式看成是分母为1的分式,再运用法则计算;⑶是分式的分子和分母中都含有多项式,通常要先分解因式,再约分,最后运用法则进行计算. ⑴; ⑵; ⑶原式. 2
2、、分式的除法 分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 用式子表示为:. 分式的除法与分数的除法相类似,当分式相除时,被除式不变,除式将分子、分母颠倒位置,将除法转化为乘法. 例2:计算:⑴;⑵. 【解析】⑴、⑵两题都是考查了分式的除法运算,我们往往把除法转化为乘法,再根据乘法法则进行运算. ⑴; ⑵. 例3:计算:,下列解答过程是否正确?若正确,请写出每一步的依据;若不正确,请指出错误的原因,并纠正. 解:原式 【研析】本题属于分式的乘除混合运算,分式的乘除混合运算法则与有理数的乘除混合运算法则一样,对同级运算,应按从左至右
3、的顺序进行,本题应先把除法转化为乘法,再进行运算.因此本题的解答过程是错误的.错因是只看到能约分就约分,而忽视了要先把除法运算转化为乘法运算,然后按从左到右的顺序进行运算.正确的解答过程如下: 原式 3、分式的乘方 分式的乘方法则:分式的乘方是把分子、分母分别乘方. 用式子表示为:,其中n是正整数. ⑴分式乘方时,一定要把分式加上括号.如:; ⑵分式乘方时,分式本身的符号也要同时乘方; ⑶当分子、分母是多项式时,应避免出现类似这样的错误. 例4:计算:⑴;⑵ 【解析】本题考查的知识点是分式的乘除、乘方混合运算.在计算过程中,如果既有乘除运算,又有乘方运算时,要先
4、对分式进行乘方,再把除法转化为乘法来进行计算.运算的顺序是先乘方,再乘除.在进行乘方运算时,除了要把分式的分子、分母分别乘方外,还要注意乘方中的符号问题. ⑴; ⑵. 4、同分母的分式加减法 同分母的分式加减法的法则是:同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减。 加减运算的结果必须化成最简分式或整式 用式子表示为:. 法则的理解:⑴法则中“分子相加减”就是把各个分式的分子作为整体相加减,即各个分子都有括号.当分子是单项式时,括号一般可以省略;当分子是多项式时,尤其是减法时,括号不能省略. ⑵法则中“分母不变”就是加减时所取的分母是原分式中的分母. 例5:计算:⑴;
5、⑵. 【解析】:只要分式的分母相同,我们就可以利用同分母分式的加减法则进行计算.有时我们看到分式的分母表面上是不相同的,但实质是相同的.像⑴中的(a-b)和(-b+a);还有像⑵中的(x-1)和(1-x),它们是互为相反数,这时我们可以利用分式的基本性质改变分母的符号,使分式的分母化为相同.同时,我们还要注意把结果化为最简分式或整式. ⑴. ⑵ . 5、异分母的分式加减法 异分母的分式加减法的法则是:异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减. 用式子表示为:. 异分母分式加减法的一般步骤: ①通分,将异分母分式化为同分母的分式. ②写成“分母不
6、变,分子相加减”的形式. ③分子去括号,合并同类项. ④分子、分母约分,将结果化为最简分式或整式. 例6:计算:⑴;⑵. 【解析】:对异分母的分式相加减,应首先对分母进行通分,将异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减,然后利用同分母的分式加减法的法则进行计算. ⑴ ⑵= = = = ==. 6、分式的混合运算 分式混合运算的顺序为:分式的混合运算,应先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号内的. 运算过程中,要灵活运用交换律、结合律、分配律等,运算结果必须是最简分式或整式. 例7:计算:. 【解析】本题考查的是分式的混合运算.分式的混
7、合运算应先算乘除,再算加减,有括号的先算括号内的.但本题也可以先把除法转化为乘法再运用分配律进行计算. 解法一: ===4. 解法二: . 例8:化简:. 【解析】:这是一道分式与整式的混合运算题.我们可以将整式看成分母为1来参与运算.在运算过程中一定要注意符号的变化. .
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