《函数逼近》PPT课件

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1、数值分析李小林重庆师范大学数学学院NumericalAnalysis§3.1基本概念第3章函数逼近函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数要求构造函数在整个区间上与已知函数的误差尽可能小误差度量标准：其中为权函数（2）（1）对于给定的函数系，寻求一组系数使得函数满足（1）（2）一致逼近逼近可见，对同一个被逼近函数，不同距离意义下的逼近，逼近函数是不同的.设给定函数，则对，存在一多项式，使得对所有一致成立。Bernstein给出了一种构造性证明.Bernstein多项式：Weierstrass定理§3.2最佳一致逼近/*BestUniformApproximation*/注：

2、Bernstein多项式具有良好的一致逼近性质；如果要求精度很高，Bernstein多项式次数会很高，即它的收敛速度很慢；Chebyshev方法：在所有次数不超过固定次数n的多项式中寻找一个最精确地逼近函数的多项式。故称之为最佳一致逼近（最佳一致逼近的定义）和的偏差设函数，集合如果存在，满足其中则称为的n次最佳一致逼近多项式，简称n次最佳逼近多项式。称为的n次最佳逼近或最小偏差几何意义（Chebyshev交错点组/*GroupofAlternatingPoints*/）假设，若存在n个点：满足且则称为在上的Chebyshev交错点组。（Chebyshev定理）设函数，则是

3、的最佳一致逼近多项式的充要条件是：在区间上存在一个至少有n+2个点组成的交错点组。Chebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质（最佳一致逼近多项式的一种求法）设在上有n+1阶导数，在上不变号，是的最佳一致逼近多项式，则：的端点属于的交错点组。（存在唯一性）设函数，则在中，有唯一的最佳一致逼近多项式。最佳一致逼近多项式求解过程总结设在中所求的最佳一致逼近多项式为：的n+2个交错点组为：则有n+1个方程，2n+3个未知数当交错点在区间内部时满足求最佳一致逼近多项式最终归结为求解非线性方程组例1：求函数在上的一次最佳一致逼近多项式。解：设所求的一次最佳一致逼近多项式为：由

4、Th知，和设的交错点组为：由交错点组的性质得到相应的方程组为解之得一次最佳一致逼近多项式为：§3.3最佳平方逼近/*BestApproximationinQuadraticNorm*/假设，是[a,b]上的一个线性无关函数系,且,为[a,b]上的一个权函数。如果存在一组系数使得广义多项式满足称函数为在[a,b]上关于权函数的最佳平方逼近或最小二乘逼近；特别，若，则称是在[a,b]上的最佳平方逼近.由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题记由极值的必要条件即：记将代入前式：令对称矩阵是关于函数系的Gram(格拉姆)矩阵易证Gram矩阵为实对称正定矩阵：上述方程组存在

5、唯一解设由上述方程组的解确定的广义多项式为：对于任意广义多项式下面证明即记设给定节点，则其最佳平方逼近唯一存在，且可以由前述Gram组成的方程组求解构造。注：前述Gram组成的方程组通常称为法方程组最佳平方逼近可以通过求解法方程组而得到Gram矩阵是实对称正定矩阵例1：求函数在上的最佳平方逼近：解：本题的函数系和权函数为：首先计算Gram矩阵：求解下列法方程组：所求最佳平方逼近为：注：例1中的法方程组推广到一般情况即函数系和权函数取为：法方程组的系数矩阵为：n+1阶的Hilbert矩阵病态矩阵函数系的选择方法如果（正交函数系）/*OrthogonalSystemofFu

6、nction*/则称为区间上关于权函数的正交（直交）函数系。特别，若称之为标准（规范）正交函数系。如果取正交函数系：则法方程组的系数矩阵变为对角矩阵。所以方程组的解为：常用的几种正交函数系1、三角（Trigonometric）函数系：（或）正交性质2、勒让德（Legendre）多项式系：性质1（递推公式）性质2（正交性质）性质3（最佳逼近性质）或者说明:在区间[-1,1]上，n次首1的Legendre多项式是零函数的最佳平方逼近多项式3、切比雪夫（Chebyshev）多项式系：性质1（递推公式）例如：性质3（正交性质）性质2（零点与最值点）在（-1,1）内的n个零点和n+1个

7、最值点为：性质4（最佳逼近性质）在区间[-1,1]上，n次首1的Chebyshev多项式是零函数的最佳一致逼近4、其它多项式系：拉盖尔（Laguerre）多项式系是区间上关于权函数的正交系埃尔米特（Hermite）多项式系是区间上关于权函数的正交系有限区间的转化问题有限区间经过下列变换可变为区间从而可以利用勒让德（Legendre）多项式系或切比雪夫（Chebyshev）多项式系来构造最佳平方逼近。三、正交多项式应用举例例2：利用Legendre多项式系，求函数在上的三次最佳平方逼近多