高考数学二轮复习：第14讲　空间几何体的表面积与体积

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1、空间立体几何　空间几何体的表面积与体积本节内容的复习是要求考生能进一步认识和熟悉各种几何体，能利用公式，求常见几何体的表面积与体积．1.若球O1、O2的表面积之比＝4，则它们的半径之比＝________.2.用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的体积为________．3.一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6cm的正方形，则此三棱柱的体积为________cm3.4.有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝的最短长度是________．【例1】　

2、根据下列对几何体结构特征的描述，在横线上填写出相应的几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形．________________；(2)一个直角三角形绕着其一条直角边旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形．________________；(3)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形．________________；(4)一个直角梯形绕较长的底边所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体．________________.【例2】　如图所示，半径为R的半

3、圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．9【例3】　如图所示，已知正四棱锥SABCD中，底面边长为a，侧棱长为a.(1)求它的外接球的体积；(2)求它的内切球的表面积．【例4】　(2011·辽宁文)如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值．91.(2011·福建)三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱

4、锥PABC的体积等于________．2.(2011·全国)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．3.(2011·上海)若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．4.(2011·四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．5.(2011·全国)如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB

5、＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥PABCD的体积．6.(2011·安徽理)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED⊥平面ACFD，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB、△OAC、△ODE、△ODF都是正三角形．(1)证明：BC∥EF；(2)求棱锥FOBED的体积．9(2010·安徽)(本小题满分14分)如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD＝60°，∠BDC＝45°，△ADP∽△BAD.(1)求线段PD的长；(2)若PC＝R，求三棱锥PABC的体积．解：(1)∵B

6、D是圆的直径　∴∠BAD＝90°.(2分)又△ADP∽△BAD，∴＝，(4分)DP＝＝＝＝3R.(7分)(2)在Rt△BCD中，CD＝BDcos45°＝R.∵PD2＋CD2＝9R2＋2R2＝11R2＝PC2，∴PD⊥CD.(9分)又∠PDA＝90°，∴PD⊥底面ABCD，S△ABC＝AB·BCsin(60°＋45°)＝R2，(12分)VPABC＝S△ABC·PD＝R3.(14分)专题五　空间立体几何第14讲　空间几何体的表面积与体积1.下列结论正确的是____________(写出所有正确结论的序号)．①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；

7、②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．【答案】　④2.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为，则四面体AB1CD1的外接球的体积为__________．9【答案】　π　解析：四面体的外接球就是该正方体的外接球．3.有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为____________．【答案】　2πa2　解析：当气球表面积最大时

8、，球与正方体的棱相切．4.已知△ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r(用S△ABC表示△ABC的面积)，则S△ABC＝r(a＋b＋c)；类比这一结论有：若三棱锥A—BCD的内切球半径为R