关于pxLaplacian椭圆方程的非光滑问题的研究

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1、关于p(z)一Laplacian椭圆方程的非光滑问题的研究摘要本文研究了一类非光滑p(z)-Laplacian问题，主要包括Dirichlet边值问题，齐．次Neumann边值问题和含不定加权的非齐次Neumann边值问题．文中主要应用非光滑临界点理论证明了相应问题解的存在性与多重性．在第二章，本文考虑了p(z)一Laplacian方程的Dirichlet边值问题：，，I—div(1Vu[p(z)-2Vu)∈国(z，u(z))，z∈Q，Iu(z)=0，z∈aQ，、其中指数v(x)∈c(彘)，p(x)>1，Qc

2、RⅣ(Ⅳ>2)是一个带光滑边界的有界区域，且2(v一)2／v+>N，此处P一=inf。∈np(z)，P+=supzeup(z)，而歹(z，()，Oj(z，()分别是关于(一变量的局部Lipschitz函数和次微分．利用山路引理和极小极大原理，文中对该方程解的存在性与多重性进行了证明．在第三章，本文研究了带非光滑位势的p(z)一Laplacian方程的如下两个Neumann边值问题：齐次Neumann问题一div(1Vulp(z)一2Vu)∈oj(x，u(z))，z∈Q，丽Ou=。，x60[2,和含不定加权的非

3、齐次Neumann问题I—div(1Vul烈z)一2Vu)+y(z)

4、uIp(￡)一2u∈西1(。，u(z))，z∈Q，t去嘶∽协㈤))'xEOff,其中Q，p(z)如上所述，且名著=IVu(z)I烈￡卜2(Vu(z)，n)，此处扎是锄上的．摘要单位外法向量．在不定加权问题中v(x)∈L”(‘2)是一个变号函数，而'70：W1伊(z)(Q)—聿上∥。)(aQ)是迹算子，．目．满足Vu∈W1’p(七)(Q)，有舶(u)=uI∞．然后利埔极小极大原理和Weierstrass定理，讨论了以上两个Neumann问题的

5、解的存在性．关键词：p(z)．Laplacian方程；非光滑c一条件；局部Lipschitz函数；Dirichlet问题jNeumann问题ⅡTHESTUDYONNONSMOoTHPROBLEMSOFELLIPTICEQUATIONSINVOLVINGp(z)-LAPLACIANABSTRACTThisdissertationinvestigatessomeproblemsforpCx)一Laplacianequationswitlnonsmoothpotential，whichincludeDirichle

6、tproblems，homogeneousNeumannprobIctusandinhomogeneousNeumannproblemswithindefiniteweight．Byusingth,theoryofnonsmoothcriticalpoint，thesolutionandmultiplesolutionsoftheseproblemsarestudied．Inchapter2，weconsideredthefollowingp(z)一LaplacianDirichleproblems：{葛紫勺

7、∞∈oj(z，让(z))，z∈Q，z∈aQ，wheretheexponentp(27)∈c(壳)，p(x)>1，QcRⅣ(Ⅳ>2)isaboundeddomairwithsmoothboundary,and20,一)2／p+>Nwithp一：inf。∈np(z)，P+=supxEflp(z)besidesJ(z，e)and勿(z，()arelocallyLipschitzfunctionandsubdifferentiaiwithre·specttOtheif-variablerespectively．Thr

8、oughtheMountainPassLemmaandMinima)Principle，thesolutionandmultiplesolutionsofthcproblemareproved．Inchapter3，thepaperconsideredthefollowingtwoNeumannproblemsforp(27)·Laplacianequationswithnonsmoothpotential：homogeneousNeumannproblem—div(1Vul一。)一2Vu)∈彩(z，u(z)

9、)，魄缸)=0，IIIz∈Q．z∈aQ，ABSTRACT●_-●__--●____●_________-●______-______-___-_●_______--_____●●●●_。●________---_-●-___。_●_●。●。_____。_-●__--一●●_________-_____●_____●●_________-_______●_________●●_---___--I___