正定Hamilton系统中极小轨道与弱KAM解的正则性

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1、南京大学研究生毕业论文(申请博士学位)论文题目：作者：指导教师：专业：研究方向：正定Hamilton系统中极小轨道与弱KAM解的正则性周敏程崇庆(教授)应用数学动力系统2011年4月DissertationfortheDoctoralDegreeofScienceMINIMALORBITSANDHOLDERREGULARITYOFWEAKKAMSOLUTIONSINPoSITIVEDEFINITEHAMILTONSYSTEMSPOSTGRADUATE：MinZhouADVISOR：Prof．Chong-Qin

2、gChengSPECIALIZATl0N：AppliedMathematicsUNIVERSITY：Nanj『ingUniversityApril，2011致谢衷心感谢我的导师程崇庆教授。在过去近五年的研究生学习生活中，程老师在学术上对我悉心指导，循循善诱，花费了大量的心血，逐步把我引到Hamilton动力系统研究的前沿，顺利地完成学业，并且使我完成从一名本科生到数学工作者的转变。程老师钻研学问知难而上的勇气，勤奋踏实的学术作风，坚持不懈的人格魅力，在我心里烙下了不灭的印记，这一切使我终身受益，成为我一生的宝

3、贵财富，对此我将永怀感激。感谢程健老师，程伟师兄，崔小军师兄对我学业上的指导和帮助，让我从中受益良多。感谢动力系统讨论班上曾经和现在的学员们，与你们一起度过的日子是充实而又愉快的。感谢我的父母长期以来对我学业的全方位支持和鼓励。周敏二0一一年四月致谢(Acknowledgements)中文摘要(ChineseAbstract)Abstract目录第1章导论§1．1KAM理论与动力学稳定性．§1．2Arnold扩散与动力学不稳定性§1．3Mather理论．．．．．．．．．§1．4弱KAM理论．．．．．，．．第2

4、章保面积单调扭转映射§2．1保面积单调扭转映射．．．．．．．．．．．．．§2．2保面积单调扭转映射极小构型的保序性．．52．3Peierls’sBarrier函数．．．．．．．．．．．．§2．4保面积单调扭转映射的弱KAM解的正则性第3章A孔半静态同宿轨的无穷存在性§3．1Hamiton系统中同宿轨研究的进展．．．．．．．．．．．．．．．．．§3．2有限多条廊一半静态同宿轨．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．§3．3府一半静态同宿轨的无穷性与性质．．．．．．．．．．．．．．．．．第4章先验不稳定哈密顿系统

5、的弱KAM解的正则性及其应用§4．1先验不稳定正定Hamilton系统．．．．．．．．．．．．．．．．．．．§4．2弱KAM解的正则性．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，．．．．§4．3障碍函数的正则性以及应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．§4，4Arnold一型扩散轨道的构造．．．，．．．．．．。．．．。．．．。．，参考文献22．222531．35．一mv149M竭躬躬∞∞卯卯∞的鼹他南京大学研究生毕业论文中文摘要首页用纸论文题目：正定Hamilton系统中极小轨道与弱KAM解的正则性应用

6、数学专业2008级博士生指导教师(姓名、职称)．程崇庆姓名：教授周敏摘要对于多自由度近可积Hamilton系统而言，KAM理论只是证明了这些系统的绝大多数轨道是稳定的，沿着这些轨道作用量的变化始终很小，而Nekhoroshev估计只是证明了近可积系统内所有轨道的作用量在指数长时间内变化很小。自从Arnold构造例子([Arn2])，展示了两个自由度、时间周期近可积系统的动力学不稳定性以来，人们一直致力于证明这样一件事，通有的多自由度系统拓扑不稳定：存在作用量可以发生显著变化的轨道。这就是著名的Arnold扩散

7、问题。研究Arnold扩散的方法包含几何方法([DLS])和变分方法([Man]，[CYl]，[CY2])。运用基于Mather-理论建立起来的变分方法。人们成功解决了先验不稳定(aprioriunstable)系统中Arnold扩散存在的通有性问题([CYl])．利用Mather理论研究Arnold扩散，基本主题是构造具有不同上同调类的Aubry集之间的连接轨道。因此，这就要求我们对Aubry集的结构有充分地了解．本文，首先我们研究Aubry集的同宿轨的存在性。假设Aubry集4(o)的相对同调群非平凡，且

8、包含零上同调类的平台边界上存在一个上同调类c，使得对每个0≠g∈H1(MXT，A(o)，7／,)都成立hc(9)>0，我们证明了该系统存在无穷多条同宿于Aubry集A(o)的厨一半静态轨道。与Mather理论密切相关的一个内容是弱一KAM理论．弱一KAM解对应于一类称之为Lax-Oleinik算子的不动点。Marl6集，Aubry集与Mather’s障碍函数均可以用共轭弱。KAM解对来进行表示。本文