《小波变换》PPT课件

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1、第８章　小波变换8.1连续小波变换的基本概念和性质8.2常用的小波函数8.3尺度因子离散化的小波变换及小波标架8.4离散小波变换的多分辨率分析8.5Mallat算法及实现8.6小波变换小结第８章　小波变换自从1822年傅里叶(Fourier)发表“热传导解析理论”以来，傅里叶变换一直是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段，但傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的(即频域分辨率最高)，而在时域无任何定位性(或分辨能力)，也即傅里叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频率信

2、息。相反，当一个函数用函数展开时，它在时间域的定位性是完全准确的，而在频域却无任何定位性(或分辨能力)，也即函数分析所反映的只是信号在全部频率上的整体时域特征，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。实际中，对于一些常见的非平稳信号，如音乐信号，在不同时间演奏不同音符；语音信号，在不同时间对应不同音节；地震信号，在目标出现的位置对应一个回波信号等，它们的频域特性都随时间而变化，因此也可称它们为时变信号。对这一类时变信号进行分析，，通常需要提取某一时间段(或瞬间)的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，寻求一种介于傅里叶分析和分析之间的，并具有一

3、定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号，一直是信号处理界及数学界人士长期以来努力的目标。为了研究信号在局部时间范围的频域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor变换，之后又进一步发展为短时傅里叶变换(ShortTimeFourierTransform，简记为STFT，又称为加窗傅里叶变换)。目前，STFT已在许多领域获得了广泛的应用，但由于STFT的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长，因此，我们期望对于高频信号采用小时间窗，对于低频信

4、号则采用大时间窗进行分析。在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同STFT的固定时窗(窗不随频率而变化)的特性是相矛盾的，这表明STFT在处理这一类问题时已无能为力了。此外，在进行数值计算时，人们希望将基函数离散离散化，以节约计算时间及存储量，但Gabor基无论怎样离散，都不能构成一组正交基，因而给数值计算带来不便，这些是Gabor变换的不足之处，但恰恰是小波变换的特长所在。小波变换不仅继承和发展了STFT的局部化的思想，而且克服了窗口大小不随频率变化，缺乏离散正交基的缺点，是一种比较理想的进行信号处理的数学工具。8.1连续小波变换的基本概念和性质8.1.

5、1小波变换的定义给定一个基本函数，令（8.1）式中均为常数，且。显然，是基本函数先作移位再作伸缩以后得到的。若不断地变化，我们可得到一族函数。给定二次方可积的信号，即，则的小波变换（WT，WaveletTransform）定义为（8.2）式中和均是连续变量，是的共轭函数，因此该式又称为连续小波变换（CWT）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从到。信号的小波变换是和的函数，是时移，是尺度因子。基本小波函数又称为基本小波，或母小波。是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，式（8.2）中的WT又可解释为信号和一族

6、小波基的内积。基本小波可以是实函数，也可以是复函数。若是实信号，则是实函数，也是实函数，反之，为复函数。在式（8.1）中，b的作用是确定对分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子的作用是把基本小波作伸缩。我们知道，由变成，当时，若越大，则的时域支撑范围（即时域宽度）较之变得越大；反之，当时，若越小，则的宽度越窄。这样，和联合确定了对分析的中心位置及分析的时间宽度，如图8.1所示。这样，式（8.2）的WT可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。式（8.

7、1）中的因子是为了保证在不同的尺度时，始终能和基本小波有着相同的能量，即a)b)c)d)图8.1基本小波的伸缩及参数和对分析范围的控制a)基本小波，b），c)不变，d)分析范围令，则，这样，上式的积分即等于。令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的性质，的傅里叶变换为：（8.3）由Parsevals定理，式（8.2）可重新表示为：（8.4）此式即为小波变换的频域表达式。8.1.2小波变换的特点下面，我们从小波变换的恒Q性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以便对小波变换有更深入的理解。比较式（8.2）和式（8.4），

8、对小波变换的两个定义可以看出，如果在时域是有限支撑的，那么它和作内积后将保证在时