《等比数列》（人教）

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1、高中数学人教A版（必修五）畅言教育《等比数列》◆教学目标1、知识与技能（1）理解等比数列的概念；（2）掌握等比数列的通项公式；（3）理解这种数列的模型应用。2、过程与方法通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式。3、情感态度与价值观培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。◆教学重难点◆用心用情服务教育高中数学人教A版（必修五）畅言教育【教学重点】等比数列的定义和通项公式；学会用公式解决一些实际问题。【教学难点】等比数列与指数函数的关系以及相关性质的应用。◆教学过程（一）新课

2、导入思考1：公元前5世纪至公元前3世纪，战国时期，《庄子》一书中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗？思考2：一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？（二）新课讲授观察下列4个数列，归纳它们的共同特点。①1,2,4,8,16，…；②1，，，，，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，…答案：从第2项起，每项与它的前一项的比是

3、同一个常数。1、等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示(q≠0)。或思考:如果an+1=anq(n∈N+,q为常数），那么数列{an}是否是等比数列？为什么？答：不一定是等比数列。这是因为：（1）若an=0，等式an+1=anq对n∈N+恒成立，但从第二项起，每一项与它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都不能为零；用心用情服务教育高中数学人教A版（必修五）畅言教育（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N+仍恒成立，此时数列{an}从第二项起均为零，显然也

4、不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。（3）公比q=1时是什么数列？既是等差又是等比数列为非零常数列；问题：在2,8之间插入一个数，使之成等比数列。这样的实数有几个？解：　设这个数为G。则＝，G2＝16，G＝±4。所以这样的数有2个。2、等比中项若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，即＝（G＝±）注：a与b的等比中项有两个，且互为相反数，只有当ab＞0时，a与b才有等比中项。3、等比数列的通项公式推导　等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘。根据等比数列的定义得＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)。将上面n－1个等式的左、右两边分

5、别相乘，得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)。当n＝1时，上面的等式也成立。∴an＝a1qn－1(n∈N*)。4、等比数列通项公式的推广思考1：我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d。等比数列也有类似变形吗？答：在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N*)。思考2：我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？答：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q。则an＝a1

6、qn－1＝。qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值。由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的单调性由a1，q，q－1的正负共同决定。归纳如下：公比为q的等比数列{an}中，an＝a1qn－1＝·qn。{an}的单调性由a1，q共同确定如下：当或时，{an}是递增数列；当或时，{an}是递减数列；用心用情服务教育高中数学人教A版（必修五）畅言教育q＜0时，{an}是摆动数列，q＝1时，{an}是常数列。思考：在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2，n∈N*)是否成立？　一般地，在

7、等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*)。若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*)。（三）例题探究例1　已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{an}是等比数列。证明：由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，∴an＝m2n＋2，∴＝＝m2，∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，∴数列{an}是等比数列。反思与感