《参数方程和普通方程的互化》导学案5

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1、《参数方程和普通方程的互化》导学案5【课标要求】1．了解参数方程化为普通方程的意义．2．掌握参数方程化为普通方程的基本方法．3．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题．【核心扫描】1．对参数方程化为普通方程的考查是热点．2．本课时内容常与方程、三角函数结合起来命题．(难点)自学导引1．参数方程转化为普通方程曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，通过消去参数可从参数方程得到普通方程．2．普通方程转化为参数方程如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝f(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中

2、，必须使x，y的取值范围保持前后一致．试一试：将下列参数方程化为普通方程：(1)(θ为参数)；(2)(t为参数，π≤t≤2π)．提示　(1)由已知，由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程．(2)∵π≤t≤2π，∴－2≤x≤2，－2≤y≤0，∴普通方程是x2＋y2＝4(－2≤x≤2，－2≤y≤0)．名师点睛1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问

3、题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．【思维导图】题型一　把参数方程化为普通方程【例1】将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．(1)(t为参数)；(2)(t为参数，0≤t

4、≤π)；(3)(θ为参数)；[思维启迪]解答本题只要消去参数，建立关于x、y的二元方程即可．解　(1)由已知t＝，代入y＝4t中，得4x＋3y－4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线．(2)∵0≤t≤π，－1≤cost≤1,0≤sint≤1.∴－3≤x≤5，－2≤y≤2，(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16.∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)，它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，半径为4的上半圆．(3)由y＝－1＋cos2θ可得y＝－2sin2θ，把sin2θ＝x－2代入y＝－2sin2θ可得y＝－2(x－2)，即2x＋y－

5、4＝0，又∵2≤x＝2＋sin2θ≤3，∴所求的方程是2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示的是一条线段．【反思感悟】(1)将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，2＋2＝1等．(2)把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性．【变式1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么

6、曲线．(1)(t为参数)．(2)(t≥0，t为参数)．解　(1)由x＝1－≤1有＝1－x，代入y＝1＋2得到y＝3－2x.又因为x≤1，所以参数方程等价于普通方程y＝3－2x(x≤1)．这是以(1,2)为端点的一条射线(包括端点)．(2)由②解出t＝y－1，代入①中，得x＝－4(y－1)2(y≥1)，即(y－1)2＝－x(y≥1)．方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分．题型二　把普通方程化成参数方程【例2】求方程4x2＋y2＝16的参数方程：(1)设y＝4sinθ，θ为参数；(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，

7、如何求曲线的参数方程？[思维启迪]解答本题(1)可以直接把y＝4sinθ代入已知方程，解方程求出x即可；(2)可以把y＝t，x＝2t代入即可．解　(1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cosθ.由于参数θ的任意性，可取x＝2cosθ，因此4x2＋y2＝16的参数方程是(θ为参数)．(2)将y＝t代入椭圆方程4x2＋y2＝1