2018年秋高中数学 常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定学案

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1、1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定学习目标:1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定.(重点,难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点,易混点)[自主预习·探新知]1.全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题叫做全称命题,通常将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么全称命

2、题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x).2.存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题,特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,可用符号简记为“∃x0∈M,p(x0)”.思考:(1)“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是特称命题还是全称命题?请改写成相应命题的形式.(2)“不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题?请改写成相应命题的形式.[提示] (1)是特称命题,可

3、改写为“存在x0∈R,使ax+2x0+1=0”(2)是全称命题,可改写成:“∀x∈R,(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0”.3.含有一个量词的命题的否定一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定p:∃x0∈M,p(x0);特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定p:∀x∈M,p(x).全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.[基础自测]1.思考辨析(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题.(  )(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题.(  )(3)命题:∀x∈R,x2-3x+

4、3>0的否定是∀x∉R,x2-3x+3≤0.(  )[答案] (1)√ (2)× (3)×2.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则“p”形式的命题是(  )A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实根D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实根[答案] C3.下列四个命题中的真命题为(  )【导学号:97792031】A.∃x0∈Z,1<4x0<3B.∃x0∈Z,5x0+1=0C.∀x∈R,x2-1=0D.∀x∈R,x2+x+2>0D 

5、[当x∈R时,x2+x+2=+>0,故选D.][合作探究·攻重难]全称命题和特称命题的概念及真假判断 指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假.(1)∀x∈N,2x+1是奇数;(2)存在一个x0∈R,使=0;(3)能被5整除的整数末位数是0;(4)有一个角α,使sinα>1[解] (1)是全称命题,因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.(2)是特称命题.因为不存在x0∈R,使=0成立,所以该命题是假命题.(3)是全称命题.因为25能被5整除,但末位数不是0,因此该命题是假命题.(4)是特称命题,因为∀α∈R,sinα∈[-1,1],所以该

6、命题是假命题.[规律方法] 1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1)分析命题中是否含有量词;(2)分析量词是全称量词还是存在量词;(3)若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断.2.全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.(2)要判定特称命题“∃x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命

7、题就是假命题.[跟踪训练]1.(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(  )A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使>2B [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;B中x=0时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任一个负数x,都有<0,所以D是假命题.](2)下列命题中,真命题是(  )【导学号:97792032】A.∃x∈,sinx+cosx≥2B.∀x∈(3,+∞),x2>2x+1C.∃x∈R,x2+x=-1D.∀x∈,ta

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