计算物理迭代混沌分形

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1、迭代混沌分形§1计算物理量的迭代方法中学中我们经常遇到的等差序列aada,,2++d,...000和等比序列2aaqaq,,,...000这两个序列的共同之处是，自第二项开始，每一项都是对其前一项作同一种运算(或加d，x=+xd；或乘以q，x=qx)而得来的。这种不断重复同一种运算的算法称为迭nn+1nn+1代法。如果一个物理量的表达式中含有该物理量本身，即x=fx()(1.1.1)求解这个物理量时通常采用数学上的迭代法。1.1直接迭代法先设一个初值x0，计算出f(x0)＝x1，再将x1代入计算，得

2、到f(x1)＝x2，f(x2)＝x3，于是每一步都是f()xxnn=+1(1.1.2)的形式，等等。一直到xnn+1=x(1.1.3)实际计算中由于计算的步数是有限的，因此很难实现严格的相等，通常设定一个收敛系数ε，当xx−nn+1≤ε(1.1.4)xn得到x≈x。ε的数值可以是万分之一，或者千分之一或者百分之一，这由系统是否容易nn+1收敛而定。如果系统容易收敛，可把ε的数值定小一些。1.2牛顿迭代法求根的方程的更为一般的形式是，gx()0=(1.2.1)(1.1.1)式是一个特例，形式为gx()

3、=fxx()−=0。设方程(1.2.1)的根为x0，将方程在x0的邻域内作Taylor展开，取其一阶近似，即gxgx()()()(≈+−gxxx′)0=(1.2.2)000于是有g()x0xx=−(1.2.3)0g′()x0g()x0实际计算时同样先估计一个初值x0，计算出xx10=−，再将x1代入计算，得到g′()x0g()xg()x12xx=−，xx=−，…每一项都是对其前一项作相同的运算：2132g′()xg′()x12g()xnxxnn+1=−(1.2.4)g′()xn除相对误差精度ε外，牛

4、顿迭代法还有另一个收敛系数，即绝对误差精度δ，需同时满足

5、()

6、gx<δ(1.2.5)n+1及(1.1.4)式，才能作为方程的根。牛顿迭代法的收敛速度快，因为考虑到了函数的一阶导数，这是它的主要优点，因此应用较广。但牛顿迭代法在运算中每迭代一次，就必须计算一次函数值和函数的一阶导数值，这在求解一些比较复杂的方程的根时，会由于一些函数的一阶导数值难以计算而受到限制。1.3混合输入迭代法对于复杂的物理系统，常常出现这样的情况：无论多少次迭代，都不能达到收敛的精度，也就是不收敛。但是从物理系统本身来说，应

7、该是收敛的。不收敛是迭代过程太粗糙所造成的。要使迭代收敛的可保留xn-1和xn，构造新的输入为：x=αxx+−(1α)(1.3.1)nn+11n−即把前两步计算的结果混合后作为新的输入，来计算f(xk+1)：f()(+xf=αx(1))−=αxx(1.3.2)nnn+1-1n+2系数α称为混合系数，介于0和1之间：0＜α＜1。在有些复杂系统中，即使混合前两步，还不能使之收敛。要用到前三步、前四步、甚至前五步结果的混合才能达到收敛。例如，三步混合：f()(+xf=+αxxβα(1−−β))xx=，其中

8、，0＜α，β，α＋β＜1。nn+−1-n12nn+21.4多元变量在(1.1.1)式中，变量x可能不是仅一个物理量，而可以是一组量{xi}：{}x=fx({})(1.4.1)ii最简单的是两个量的情况：⎧x=fxy(,)⎨(1.4.2)⎩ygxy=(,)如果是采用直接迭代法，形式就是⎧x=fxy(,)nn+1n⎨(1.4.3)⎩yg=(,)xynn+1n则收敛是指：要求其中每一个xi都满足收敛条件(1.1.4)式。如果采用混合输入迭代法，例如⎧x=+fx(αα(1),−xyαα+(1))−ynnn+

9、−11nn−1⎨(1.4.4)⎩ygx=+(αα(1),−xyαα+(1))−ynnn+−11nn−1更进一步，在许多情况下，待求的物理量{xi}本身是一组函数，例如{ϕi(x)}。这时把一组函数{ϕi(x)}输入(1.4.3)右边，在左边输出一组新的函数{ϕi(x)}，如下式。对每一个变量x的函数值{ϕi(x)}都要做这种迭代{()}ϕx=fx({()})ϕ(1.4.5)ii(1.4.5)式这样的计算量是巨大的。但是在解决复杂系统的时候，人们经常不得不这么做，例如在计算多原子系统时，电子的密度就是

10、要通过迭代法求解的。§2混沌迭代是许多实际事物的一个数学模型，例如上面所述的用来求方程的跟。线性函数的迭代，其轨道的性质是十分简单的，而非线性函数的迭代，哪怕迭代函数是一个二次式，其轨道行为也可能变得十分复杂，甚至导致出人意料之外的现象，如混沌和分形。混沌与分形的[1~5]关系十分密切，这里我们先介绍混沌。混沌(chaos)是一种确定性系统中出现的（或决定论规律所产生的）类似随机(混乱、无[6]序)的过程。它首先是由Lorenz（洛伦兹）在流体热对流的简化模型的计算中