13.4 课题学习　最短路径问题13.4 课题学习　最短路径问题教学设计2

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1、13.4课题学习：最短路径问题导学案班级：姓名：导学目标：1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。导学重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。导学难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。导学过程：一、创设情景，引入新知。前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直

2、线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”二、自主学习，探究新知。问题1　相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：　　从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？　精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．　　你能将这个问题

3、抽象为数学问题吗？追问1　这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．　　问题2如图，点A，B在直线l的同

4、侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？追问1　对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？　　追问2　你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．问题3　你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴　AC+BC=AC

5、+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴　AC+BC＜AC′+BC′．即　AC+BC最短．　追问1　证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？　追问2　回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短检测一要在河边修建一个水泵，分别向张村、李庄，修在河边什么地方，可使所

6、用水管最短？检测二如下图，牧马营地在点p处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短.李庄一线+两点型