波利亚“双轨迹”解题模型应用探索

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1、波利亚“双轨迹”解题模型应用探索（南京师范大学数学科学学院蒋晓铭210046）1、解题模型应用概述注重“双基”是我国数学教育的一大特点。很多数学教师也认为，学好数学关键是打好基础，不断的解题、练习…….这在一定程度上导致了“题海战术”的形成。作为数学教育者，我们应该考虑的是“如何教解题”，而不是一味的在解题数量上要求学生。如何教好学生解题，把隐性的解题经验显性化、算法化（我国古代数学特有的体系），解题模型可以说是一种有效的手段。通过对一类问题的认识总结，在自己头脑中形成对这类问题的解决方法结构，就是数学解题模型。解题模型

2、具有针对性、可操作性、简洁性等特点，应用好解题模型有助于提高学生解题能力、有助于培养学生“模块”意识、有助于提高学生思维品质。笔者在辅导中学生解题过程中通过引导学生自己形成应用解题模型的意识，起到了很好的效果。本文以波利亚“双轨迹”解题模型理论入手，谈谈如何应用解题模型解具体题目的过程。2、波利亚“双轨迹”解题模型理论“双轨迹”解题模型源于平面几何中的尺规作图问题的求解。运用该模型可以在若干场合下成功解决几何作图问题，具体操作如下：首先把问题归结为一个要求的点。然后把条件分成两部分，使得对每部分未知点都形成一个轨迹，而每

3、一个轨迹必须是直线或圆。可以说，“双轨迹”解题模型不仅适用于尺规作图，它所蕴含的方法的应用十分广泛。首先我们对“轨迹”一词做延拓：凡是满足以特定方式出现在问题求解中的条件的点的集合称为“轨迹”。我们再假设对于一个问题而言，未知量（可以是数或事件）为，问题的约束条件分成款，我们用个符号方程来表示：，，……..。其中满足第一个条分款（由第一个符号方程表示）的对象组成的集合，我们称为第一条轨迹；满足第二个条件分款的对象组成的集合，我们称为第二条轨迹……类似的满足最后一条分款的的对象组成的集合称为第条轨迹。于是这条轨迹的交集就是

4、满足题目所有条件的点的集合，也即问题的解的。这样一来我们得到推广的“双轨迹”解题模型。具体应用的操作步骤：根据题意将包含要求未知量的条件分成适当的分款，然后做出对应于各分款的轨迹；找出轨迹的交，根据题意取舍，得出问题的解。我们用图表来表示这一过程：求出符合条件1的轨迹1求出符合条件2的轨迹2求出符合条件的轨迹求个轨迹的交得出解根据题意取舍，得到解条件1条件2条件包含要求未知量的条件3、应用范例分析下面重点讨论推广的“双轨迹”解题模型，并以两个典型问题说明如何应用该模型进行解题。例1、七位数是99的倍数，试确定的值。分析：

5、首先读题可知都是个位数，又，于是得到下述条件并写成下列分款，有：是个位数，，当我们遇到多个条件决定的问题时，可以先抓住其中一个条件或是几个条件，暂时放下相对而言重要的条件，先解出这部分条件的解，等目标缩小或明朗后，在考虑取舍条件，最终获得题目的解。解:由条件，再由初等数论知识，结合一个数模9的性质，可得；再由条件，我们得出满足此条件的之间关系（轨迹）为或。（1）由条件，结合一个数模11的性质，得；再结合，我们得出此时满足条件的具有关系（轨迹）或。(2)取符合题意的(1)、(2)交集，得到或，解得或。再由可知只有是满足题意

6、的解。例2、已知有一正根、一负根，求范围。分析：由题目所给直接条件，结合对数性质与一元二次方程有两个互异实根条件，我们能挖掘出如下各款约束条件：（方程有两个实根），（方程两根互异，由韦达定理可知）（对数真数大于0）解：由，解得（1）由，解得或（2）由，解得（3）取轨迹（1）（2）（3）的交集，就得到本题的解：或。4、几点反思运用解题模型解题固然有效，但它并不是万能的。中学范围内有很多的题目的求解是没有现成的解题模式可以套用的，为了避免学生在解题过程中盲目地、机械地乱套解题模型，教师更应教会学生具体题目具体分析，多总结，多

7、反思。运用“双轨迹”模型解题，关键在于对题目约束条件的把握：如何选取适当的约束条件（如例1，为何把99分成是9和11的乘积而不是其他）、如何挖掘题目隐含条件（如例2，并不仅仅判别式大于零就够了）、约束条件的选取要注意主次，尽量从完整的条件入手…….总之条件的使用要向有利于解题的方向进行，这是值得我们思考的。在平时的解题练习过程中，要提倡一题多变、一题多解。虽然运用解题模型可以得到一类题目的通用解法，但是教师应当鼓励学生发散思维，想想有没有更优解题方法。参考文献：[1]G-波利亚.《数学的发现》[M]科学出版社，2010[

8、2]陈永明名师工作室.《数学习题教学研究》[M]上海教育出版社，2010