初中数学竞赛专题培训(26)：含参数的一元二次方程的整数根问题

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1、鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练初中数学竞赛专题培训　第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第3页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练　　　　对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就

2、没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．　　例1m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0　　有两个不相等的正整数根．　　解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得　　由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，　　解得m=2．这时x1=6，x2=4．　　解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知　　所以m2-1=

3、2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，　　只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．　　经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．　　说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．　　例2已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0　　

4、(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．　　分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．　　解因为a≠0，所以　　所以　　所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．　　例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0　　有有理根，求m的值．　　解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，　　其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，　　所以(m-3)2-n2=

5、8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．　　由于m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第3页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练　　是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以　　　　　　　　说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．　　例4关于

6、x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0　　至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．　　解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．　　当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)　　为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，　　　　　　　　要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．　　综上所述，a的值为2，-4，-10．　　说明本题是前面两种方法的

7、“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．　　例5已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0　　的两根都是整数，求a的值．　　解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得　　从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2＝6，　　所以(x1＋1)(x2+1)=7，　　　　　　　所以a=x1x2=0或16．　　说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．　　例6求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0　　的所有根是整数．　　分析首先对r

8、=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦