高等数学第6章 定积分的应用

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1、第六章定积分的应用第一节定积分的微元法第二节定积分在几何学上的应用第三节定积分在物理学上的应用第四节函数在区间上的平均值习题课第一节定积分的微元法第一节定积分的微元法回顾曲边梯形求面积的问题与变速直线运动的路程问题，所求量U具有下列三个特点第六章(1)U是与一个变量x及其的变化区间[a,b]有关的量；(2)U在区间[a,b]上具有可加性，即如果用分点定积分应用axxxxb012n把区间[a,b]分成n个小区间[xi1,xi](i,2,1,n),则U相应地分成n个部分量U,而niUUii1(3)可以“以常代变”求部分量U的近似值i吴

2、新民--11-第一节定积分的微元法Uf()x(i,2,1n)iii其中xixixi1,i[xi1,xi].含义是Ufxii()i第六章是较xi高阶无穷小.即f(i)xi是Ui的线性主部.n于是Uf(i)xii1定积分应用令max{xi},0得1innbUlimf(i)xifxx()d0ai1一般地,如果某个实际问题具有上述的三个特点,可以利用定积分求解,此时按下述的步骤进行:吴新民--22-第一节定积分的微元法1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x作为积分变量，并确定它的变化区

3、间[a,b]作为积分区间.第六章2)设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小区间并记为[,xxxd](称其为典型小区间),求出相应于定积分应用这小区间的部分量U的近似值,如果U能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积(省略的部分是dx的高阶无穷小)，就把f()dxx称为量U的微元,记作d,U即d(Ufxx)d;吴新民--33-第一节定积分的微元法3)以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在区间b[a,b]上作定积分，得Uf()d,xx即为所求量U的积a第六章分表达式.这个方法通常叫做微元法．定积分应用应用方向

4、：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；水压力；功和函数的平均值等．吴新民--44-第二节定积分在几何学上的应用第二节定积分在几何学上的应用第六章一平面图形的面积定积分应用二立体的体积三平面曲线的弧长吴新民--55-第二节定积分在几何学上的应用一平面图形的面积1直角坐标系平面图形的面积yyf()x设[a,b]上连续函数yfx(),第六章yg(),x并满足f(x)g(x)x[a,b]yg()x定积分应用oaxxxdbx求由曲线yfx(),ygx()与直线xa,xb所围的平面图形的面积.由于平面图形介于直线xa,xb之间,因此选取x作为积分

5、变量,[a,b]作为积分区间.在[a,b]上一个典型小区间[,xxd],x相应于该小区吴新民--66-第二节定积分在几何学上的应用y的平面图形可以近似地看成以fx()yf()xf(x)g(x)为高,dx为底长的第六章长方形,所以面积的微元为yg()xgx()dSfxg(()())dxxoaxxxdbx定积分应用最后以(()())dfxgxx作为定积分的被积表示式,在[a,b]作定积分得bSf[()()]dxgxxa吴新民--77-第二节定积分在几何学上的应用同理由[c,d]上连续曲线xf(y),xg(y()f(y)g(y))与直线y

6、c,yd所围的平面图形的面积.选y作为积分变量，[,]cdygy()fy()第六章d作为积分区间,面积的微元y(f(y),y)定积分应用dS(()())fygydy(g(y),y)面积为cdoxSf(()())dygyyc吴新民--88-第二节定积分在几何学上的应用22例1计算由两条抛物线yx和yx所围成的y图形的面积.2xy(1,1)解两曲线的交点(0,0),(1,1),yx第六章yxy选x为积分变量,[0,1]作为积分2yx定积分应用区间，则1Oxx3123x1S2(x2).()xxxd03330或选y为积分变量,[0

7、,1]作为积分区间，则131223y1S()yyyd(y2).03330吴新民--99-第二节定积分在几何学上的应用2例2求由曲线xy,xy2所围的平面图形的y面积2xy(4,2)解曲线的交点(1,1),(4,2),yxxy2第六章y法I选x为积分变量,[0,1]xyx2xOx[1,4]为积分区间，则yx(1,1)定积分应用1S(()xxx)d043134((2xxx))d4x2(221x2xx2)351332601法II选y为积分变量,[1,2]为积分区间，则22322yy35S(2)y

8、yyd(2y)