2016年10月24圆锥曲线解答题2

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1、2016年10月24圆锥曲线解答题2参考答案与试题解析　一．解答题（共30小题）1．（2016•广西模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2及椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1（Ⅰ）求椭圆E的方程：（Ⅱ）如图，直线l与椭圆E有且只有一个公共点M，且交于y轴于点P，过点M作垂直于l的直线交y轴于点Q，求证：F1，Q，F2，M，P五点共圆．【解答】（Ⅰ）解：如图，∵△AF1F2是等边三角形，∴a=2c，又∵椭圆的右顶点到右焦点的距离为1，∴a﹣c=1，则a=2，c=1，从而b=，故椭圆E的方程

2、为：；（Ⅱ）证明：依题意，直线l的斜率必存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m，由，得（4k2+3）x2+8mkx+4m2﹣12=0．令△=0，即64m2k2﹣16（4k2+3）（m2﹣3）=0，化简得：m2=4k2+3＞0．设M（x1，y1），则，即．即M（）．又∵直线MQ⊥PM，∴直线MQ的方程为．由，得Q（0，），第28页（共28页）又由，得P（0，m）．由（Ⅰ）知，F1（﹣1，0），F2（1，0），∴，．∴，．∴PF2⊥QF2，PF1⊥QF1，又PM⊥QM，∴点F1，Q，F2，M，P都在以PQ为直径的圆上．故F1，Q

3、，P2，M，P五点共圆．　2．（2016•白银模拟）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2=2py（p＞0）有一公共焦点，抛物线C2的准线l与椭圆C1有一交点坐标是（，﹣2）．（1）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（2）若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求•的取值范围．【解答】解：（1）抛物线C2的准线方程是y=﹣2，所以，所以抛物线C2的方程是：x2=8y，椭圆的焦点坐标是（0，﹣2），（0，2），所以c=2，，所以，即椭圆C1的方程是+=1；（

4、2）设点P（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），F（x4，y4），抛物线方程可以化为：，，所以AP的方程为：，所以，即，同理：，第28页（共28页）所以直线AB的方程为：，将直线AB方程代入椭圆C1的方程得到：（t2+32）x2+16tx﹣64=0，则△=256t2+256（t2+32）＞0，且，所以，因为，所以的取值范围是（﹣8，2]．　3．（2016•河南二模）已知椭圆C：2x2+y2=16．（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线x=4上，且=0，求直线AB截圆x2+

5、y2=17所得弦长为l．【解答】解：（1）由椭圆C：2x2+y2=16，得，∴，则．故椭圆C的离心率为e=；（2）设A（x0，y0），B（4，t），∴，①由=0，得，②根据点斜式得到直线AB的方程为：y﹣t=，化简得（y0﹣t）x﹣（x0﹣4）y﹣4y0+tx0=0．原点O到AB的距离d=．第28页（共28页）将①②代入可得：d====．在圆x2+y2=17中，利用勾股定理可得．∴直线AB截圆x2+y2=17所得弦长为6．　4．（2016•抚顺校级四模）已知F1，F2分别是椭圆E：的左右焦点，P是椭圆E上的点，且PF2⊥x轴，．

6、直线l经过F1，与椭圆E交于A，B两点，F2与A，B两点构成△ABF2．（1）求椭圆E的离心率；（2）设△F1PF2的周长为，求△ABF2的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），设点P在第一象限，令x=c，可得y=±b=±，则，，，可得，则a2=4b2=4（a2﹣c2），可得3a2=4c2，即c=a，即有离心率e==；（2）由（1）可得2c=a，由椭圆的定义可得

7、PF1

8、+

9、PF2

10、=2a，△F1PF2的周长为2a+2c=，解得a=1，c=，则b==，可得椭圆方程为x2+4y2=1，由题知直

11、线斜率不为0，设直线方程为，第28页（共28页）由，得，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有，，

12、y1﹣y2

13、===，则=，“=”成立时t2=2，即t=±，则△ABF2的面积的最大值为．　6．（2016•辽宁三模）已知椭圆的离心率为，且过点，其长轴的左右两个端点分别为A，B，直线l：y=x+m交椭圆于两点C，D．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，（2分）解得，（4分）∴椭圆方程为．（5分）（II）设C（x1，y1），D（x2，

14、y2），联立方程，得3x2+3mx+m2﹣3=0①，∴判别式△=（3m）2﹣12（m2﹣3）=﹣3m2+36＞0，解得m2＜12，（7分）∵x1，x2为①式的根，∴，（8分）第28页（共28页）由题意知A（﹣2，0），B（2，0），∴．∵k1：k2=2：1，即，