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1、绪论一、线性系统研究的对象对象：线性系统、一类理想化的模型。实际上：一切过程都是非线性①一大部分系统特征、某些关系特性--近似于线性化；②在小范围内。二、线性系统的的主要任务——分析与综合1．分析：研究系统的运动规律。首先建立模型：时域，频域；①定性分析：稳定性、能控性、能观性②定量分析：输入--输出运动规律2.综合——设计；按期望的性能指标设计控制器、补偿器、跟踪问题、抗干扰问题三、线性系统的发展1．经典的线性理论：SISO；工具：数学描述，传递函数分析与综合——频域法。2．现代的控制理论：状态空间，研究内部；MIMO，以空间为基础，线性代数
2、。3．线性系统的代数与几何理论（高层次）4．多变量频域方法：古典、空间结合，扩展四、本课内容1、时域部分2、频域部分第一章线性系统的数学描述•§1系统及其数学描述方法系统：事物或过程的集合体。由若干事物或过程借物质流、能量流、信息流在空间、时间上相互联系，具有某种功能的集合体；抽象•环境系统的作用称输入（因）U•系统环境的作用称输出（果）YX—系统内部变量（变换因子）U、Y、X变量随时间而变化，体现系统的行为数学描述：描述系统的变量因果关系和变换关系，称为数学模型。描述数学模型的方法：1.外部描述：输入U—输出Y(黑箱)SISO：nn−1m−1
3、dydydydudy+a+L+a+ay=b+L+b+bunn−1n−110m−1m−110dtdtdtdtdt零初始态下的拉氏变换：m−1bs+L+bs+bm−110G(s)=nn−1s+as+L+as+an−110特点：只反映外部关系2、状态空间描述内部状态变量x1Lxn与u1Lun的因果关系，数学表达式；一般由机理分析：（物理、力学、电定律、化学定律及反应动力学）通式：dXC=Qxut),,(−Qxut),,(+Sxut),,(12dtX—系统或过程状态，T、P、V；U—输入；C—容量：表示系统状态变量变化一个单位时，系统内部贮存物质或能量
4、的变化量；Q,Q—单位时间内流入系统的物质量或能量；12S—单位时间内由系统或过程本身产生或吸收的物质量或能量。二者比较：(1)、状态方程的信息量大，能反映非线性、时变系统；(2)、输入/输出描述，零初始化；甚为复杂的系统动态方程描述繁，借助此法容易。§2系统的基本特征1、储存性：⎧储存能量⎨变化⇔状态量的变化,..i.系统内部⎩储存物量即：能量、物质变化⇔状态变化ii.X(t)可反映U(t)（t1≤t0），即输入保存了过去时刻的信息：因物质或能量流动有“阻力“。2、因果性i.状态或输出受输入或初始的影响⎧u(t)，控制作用、干扰X(t)⎨X(
5、t)，初始状态有关⎩0ii.时间性，未来的输入不会影响现在的输出或状态变量X(t)只与U(-∞,t)有关iii.松弛性：若X(t)与X(t０)无关，称系统松弛，则X(t)只决定于U(t)注意：由1、2两特性：①、系统的状态：由过去--现在；②、传递函数，稳定系统是松弛的。3、实际系统的复杂性①状态变量是多维或无穷维，且相互影响温度分布随位置z变化,随时间t变化。T(z,t):Δt内⇒能量的变化⎧Q=SGT入ΔzAρSΔT=(Q入−Q出)Δt⇒⎨Q=SG(T+ΔT)⎩出解偏微分方程：z不变：Δz→,0Δt→0，分别解之满足⎧空间离散化变为有限维⇒
6、⎨分布参数⎩有限低集参数②状态变量不完全可测，输出可测，状态不一定完全可测U、Y可测状态输入→→输出内部描述,部分不可测③系统的不确定性—随机干扰信号形式，幅值大小，时间未知§３系统的状态空间模型一、状态空间状态：完全的表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。τ()((),()())Xt=x1tx2tLxntxit)(称为状态变量，t≥t0①状态变量可完全描述系统的行为；给定xi(t0),uit)(⇒xit)(t≥t0；完全确定。②状态空间一定线性无关；即状态变量x1(t),x2t)(Lxnt)(完全表征系统变量的最小数。③状态变量组的非唯一性
7、；描述系统的变量数>n，其中n个线性无关变量组不唯一④系统任意选取的两个状态变量组之间为非奇异变换关系；Tx=(xLx)⎫1nT⎬设x=(xLx)⎭（１）1n∵x1Lxn线性无关，则xi均可由xi线性组合表示，且唯一。⎧x1=p11x1+L+p1nxn⎫⎪⎪⎨M⎬⎪x=px+L+px⎪（２）⎩nn11nnn⎭⇒x=Px（３）⎡p11Lp1n⎤⎢⎥P=MM⎢⎥其中，⎢pLp⎥（４）⎣n1nn⎦同理，x1Lxn线性无关，故xi可用xi线性组合：x=Qx(５)3()()5PQ=QP=I⇒⇒P与Q互逆⇒x和x为线性非奇异变换关系。二、线性系统与非线性系
8、统⎧x&=f(x,u,t)⎨称⎩y=g(x,u,t)为非线性系统，若f(x,u,t)和g(x,u,t)内只含有一个变量x1Lxn和u1Lum的非线性函
