实变函数与泛函分析基础习题解答

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1、习题解答与提示习题1.11.①x∈AU(BUC)⇔x∈A或，x∈BUC⇔x∈A或x∈B或，x∈C⇔x∈AUB或x∈C⇔x∈(AUB)UC．②x∈A∩(B∩C)⇔x∈A，且，x∈B∩C⇔x∈A，x∈B且x∈C⇔x∈A∩B且x∈C⇔x∈(A∩B)∩C．③因A∩B⊂A∩(B∪C)，A∩C⊂A∩(B∪C)，所以(A∩B)∪(A∩C)⊂A∩(B∪C)．另方面x∈A∩(B∪C)⇒x∈A且x∈B∪C⇒x∈A，且x∈B或x∈C⇒x∈(A∩B)∪(A∩B)．④因A∪(B∩C)⊂A∪B，A∪(B∩C)⊂A∪C，所以A∪(B∩C)⊂(A∪B)∩(A∪C)．另方面x

2、∈AUB且x∈AUC⇒x∈A或x∈B∩C⇒x∈A∪(B∩C)．⑤x∈A∩(∪Bα)⇔x∈A且∃α∈Γ．x∈Bα⇔∃α∈Γ，α∈Γx∈A∩Bα⇔x∈∪(A∩Bα)．α∈Γ2.①因AUB⊂(A)U(B)，所以ααUαUαα∈Γα∈Γ(AUB)⊂(A)U(B)．另一方面A⊂(AUB)，UααUαUαUαUααα∈Γα∈Γα∈Γα∈Γα∈ΓB⊂(AUB)，所以(A)U(B)⊂(AUB)．UαUααUαUαUααα∈Γα∈Γα∈Γα∈Γα∈Γ②因∀α∈Γ：(∩Aα)∩(∩Bα)⊂Aα∩Bα，所以α∈Γα∈Γ(∩Aα)∩(∩Bα)⊂∩(Aα∩Bα)．另方

3、面：因∩(Aα∩Bα)⊂∩Aα，α∈Γα∈Γα∈Γα∈Γα∈Γ∩(Aα∩Bα)⊂∩Bα，所以∩(Aα∩Bα)⊂(∩Aα)∩(∩Bα)．α∈Γα∈Γα∈Γα∈Γα∈ΓCCCC3.①A⊂B⇔x∈B，则x∈A⇔x∈B．则x∈A⇔B⊂A．CC②x∈A−B⇔x∈A，且x∈B⇔x∈A，且x∈B⇔x∈AIB．4.①CCCCA∩(B−C)=A∩(B∩C)=(A∩B)∩(A∪C)=(A∩B)∩(A∩C)=(A∩B)−(A∩C)．②(A∆B)∪(A∩B)=(A−B)∪(B−A)∪(A∩B)=[(A−B)∪(A∩B)]∪[(B−A)∪(A∩B)]=AUB．5.①χ

4、(x)=1⇔x∈A⇔∃α∈Γ：x∈Amaxχ(x)=1．UAαUααAαα∈Γα∈Γα∈Γ②χ∩Aα(x)=0⇔x∈∩Aα⇔∃α∈Γ：x∈Aα⇔minα∈ΓχAα(x)=0．α∈Γα∈Γ③χ(x)=1⇔x∈limA⇔x属于无穷多个A⇔x{χ(x)}有无limAnnnnAnn穷多项为1⇔limA(x)=1．nn④χ(x)=1⇔x∈limA⇔∃n．当n≥n时x∈A⇔∃n，当limAnn00n0nnn≥n时χ(x)=1⇔limA(x)=1．0Annn6.因B∩A=φ.B⊂A，所以B∩B=φ，即{B}互不相交．显n+innnn+inn然A=B，设11

5、nnn+1nnnn+1A=B，则B=(B)UB=(A)U(A−A)=A．UiUiUiUin+1Uin+1UiUii=1i=1i=1i=1i=1i=1i=17.limA=(0,+∞)，limA=φ．nnnn习题1.21.y∈f(∩Aα)⇒∃α∈Γx∈∩Aα:y=f(x)⇒∀α∈Γ:y∈f(Aα)⇒y∈∩f(Aα)．α∈Γα∈Γ2A=(−1,0)，B=(0,1)，f(x)=x．则A∩B=φ，f(A)∩f(B)=(0,1)．2.①−1−1x∈f(C)⇔f(x)∈C⇔∃α∈Γ:f(x)∈C⇔∃α∈Γ:x∈f(C)UαUαααα∈Γα∈Γ−1⇔x∈f(

6、C)．Uαα∈Γ−1②x∈f(C−D)⇔f(x)∈C−D⇔f(x)∈C，且−1−1−1−1f(x)∈D⇔x∈f(C)，且x∈f(D)⇔x∈f(C)−f(D)．−1C−1−1−1−1C③f(C)=f(Y−C)=f(Y)−f(C)=[f(C)]．−1④x∈A⇒f(x)∈f(A)⇒x∈f[f(A)]．−1−1⑤y∈f[f(C)]⇒∃x∈f(C):f(x)=y⇒y=f(x)∈C．3.“⇒”∀y∈C⊂Y．因F(X)=Y，所以∃x∈X使y=f(x)，故−1−1x∈f(C)．所以y=f(x)∈f[f(C)]相反包含总是成立的．“⇒”取C=Y．4.(1)⇒(

7、2)：y∈f(A)∩f(B)⇒y∈f(A)且y∈f(B)⇒∃x∈A，1x∈B，使f(x)=f(x)=y．由于为单射，所以x=x=x∈AIB，故21212y=f(x)∈f(A∩B)，即f(A)∩f(B)⊂f(A∩B)．而相反包含关系总成立．−1(2)⇒(3)：若x∈f[f(A)]−A⇒∃x∈A,f(x)=f(x),x∈A．于11−1是f({x}∩{x})≠f({x})∩f({x})与2矛盾．所以f[f(A)]⊂A，而相11反包含关系总成立．(3)⇒(4)：因−1−1−1−1f[f(X−A)]=X−A=f[f(X)]−f[f(A)]=f[f(X)

8、−f(A)]及f(X)−f(A)⊂f(X−A)．所以f(X−A)=f(X)−f(A)．(4)⇒(1)：因{f(x)}=f(X)−f(X−{x})，所以1f(x)∈f