第八章 多元函数的微分及其应用

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1、第八章多元函数的微分及其应用学习测试题答案1.填空题（1）由题，，则。（2）由题，，所以。（3）由题，，所以。（4）由题，则。（5）利用隐函数求导得到曲线的法线斜率为，则其在点的法线方程为。（6）由题，，，方向向量为，与其同向的单位向量为，所以方向导数为。（7）有隐函数方程组求导知，，，则所求切线为，即。（8）曲线的切向量为，且当时，可得到点，所以曲线在点处的切向量为，所以切线为。（9）由题，，，所以法线方程为。（10）由题，，，，。，，，所以当时，函数在点处取极大值。（11），。（12）由题，，则函数在区域内没有

2、驻点，不存在极值，则极值只可能在区域边界上取得，且只能在的边界上取极小值。在边界上，，则最小值为。1.选择题（1）由题在去极大值，是指在的某一领域内去极大值，在可以表示为上述区域内在直线上取值，同样在上取极大值，同样也在上取极大值。（2）由书P300的讨论知，方向和梯度一致时，有最大增长率。（3）曲线的切线斜率为，与平面平行得，所以或，所以应该有两条平行于平面的切线。（4）由题，所以。（5），，则，所以。（6）。（7）函数偏导数存在和函数连续无关，既非充分也非必要条件（可以参考P286反例）。（8）由题，且方向和梯

3、度一致时，有最大增长率，所以增长最快的方向为。（9）当时，的全微分为。（10）函数偏导数存在和函数极限存在无关；函数偏导数存在和函数连续无关；函数可微可以得到函数连续，但函数连续不能得到函数可微；函数可微可以得到函数偏导数存在，但函数偏导数存在不能得到函数可微，当函数存在连续偏导数才能得到函数可微。由此可得答案。（11）当点沿趋于点时，，所以的极限随的变化而不同。所以极限不存在，因此函数不连续。，。所以偏导数存在。（12），，所以，所以。（13），，所以。（14）由隐函数方程组求导知，，，所以法平面方程为，即。1.

4、计算题（1），，，所以。（2），。（3）当时可得，则，所以当时，，且，所以在，时达到最小值。（4）当时，，，且，，，，，，，。（5）由题为驻点坐标在区域D内，，所以在点处取得极大值，再考虑边界，在坐标轴上，在上，，当或时，，且，，所以在取极大值，在取极小值，比较可能的最值点可得最大值点为，最大值，最小值点，最小值。（6）由题总费用函数为，则该问题可化为条件极值问题，，所以为唯一驻点，由题必存在费用最小的点，即为最小值点。（7）由题，，，，所以，，所以。（8），。（9），。（10），，。（11）由隐函数方程组求导得，

5、则，，，，，。（12）由题曲面的切平面的法线斜率为，所以，所以所求切平面方程为，即。（13），所以在点连续；，；但不存在，则在点不可微。（14）①曲面的切面的法向量，由题，所以切平面为，即。②可以化为条件极值问题，，所以，所以或，为距离可能的极值，由题必存在距离的最小值。（15）曲面切平面的法向量为，过直线的平面束为，则，由此或，即所求切平面方程为或。（16）的方向余弦为，则。（17）可以化为条件极值问题，所以，所以，所以或为距离最值，所以最小值为。（18）有隐函数方程组求导得，，，所以曲线在该点处切线的方向余弦为

6、，且，，，所以方向导数为。（19）可以化为条件极值问题,则，所以，因此或，因为距离一定会有最大最小值，距离最大值即为长轴，距离最小值即为短轴。（20）由题知，所以，所以切平面方程为，即。（21）可以化为条件极值问题，则，所以，所以，因为一定存在距离最小点，则为其最小值点。