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《§ 3 . 高阶导数一、高阶导数的定义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§3.高阶导数一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.设s=f(t),则瞬时速度为v(t)=f′(t)∵加速度a是速度v对时间t的变化率∴a(t)=v′(t)=[f′(t)]′.定义如果函数f(x)的导数f′(x)在点x处可导,即f′(x+∆x)−f′(x)(f′(x))′=lim∆x→0∆x存在,则称(f′(x))′为函数f(x)在点x处的二阶导数.22dydf(x)记作f′′(x),y′′,或.22dxdx3dy二阶导数的导数称为三阶导数,f′′′(x),y′′′,.3dx4dy(4)(4)三阶导数
2、的导数称为四阶导数,f(x),y,.4dx一般地,函数f(x)的n−1阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数,记作nndydf(x)(n)(n)f(x),y,或.nndxdx二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.相应地,f(x)称为零阶导数;f′(x)称为一阶导数.二、高阶导数求法举例由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例1设y=arctanx,求f′′(0),f′′′(0).11−2x解y′=y′′=()′=22221+x1+x(1+x)2222(3x2−1)−2x−2(1+x)+2x⋅2(1+x)2xy′′′=
3、(22)′=24=23(1+x)(1+x)(1+x)−2x22(3x−1)∴f′′(0)=22x=0=0;f′′′(0)=23x=0=−2.(1+x)(1+x)α(n)例2设y=x(α∈R),求y.α−1解y′=αxα−1α−2y′′=(αx)′=α(α−1)xy′′′=(α(α−1)xα−2)′α−3=α(α−1)(α−2)x""(n)α−ny=α(α−1)"(α−n+1)x(n≥1)若α为自然数n,则(n)n(n)(n+1)y=(x)=n!,y=(n!)′=0.nn−1设y=ax+ax+"+ax+a01n
4、−1n（n)则y=an!0注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(n)例3设y=ln(1+x),求y.11解y′=y′′=−21+x(1+x)2!3!y′′′=y(4)=−3(1+x)(1+x)4""(n−1)!(n)n−1y=(−1)(n≥1,0!=1)n(1+x)(n)例4设y=sinx,求y.π解y′=cosx=sin(x+)2ππππy′′=cos(x+)=sin(x++)=sin(x+2⋅)2222ππy′′′=cos(x+2⋅)=sin(x+3⋅)2
5、2""(n)πy=sin(x+n⋅)2(n)π同理可得(cosx)=cos(x+n⋅)22.高阶导数的运算法则:设函数u和v具有n阶导数,则(n)′(1)(u±v)(n)=u(n)±v(n)⎛u⎞⎛1⎞(4)⎜⎟=⎜u⋅⎟⎝v⎠⎝v⎠(n)(n)(2)(Cu)=Cun(n−1)(n)(n)(n−1)(n−2)′′(3)(u⋅v)=uv+nuv′+uv2!n(n−1)"(n−k+1)(n−k)(k)(n)+uv+"+uvk!nk(n−k)(k)莱布尼兹公式=∑Cnuvk=022x(20)例5设y=xe,求y.2
6、x2解设u=e,v=x,则由莱布尼兹公式知(20)=2x(20)⋅2+2x(19)⋅2′y(e)x20(e)(x)20(20−1)2x(18)2+(e)⋅(x)′′+02!202x2192x=2e⋅x+20⋅2e⋅2x20⋅19182x+2e⋅22!202x2=2e(x+20x+95)小结高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);思考题2设连g′(x)续，且f(x)=(x−a)g(x)，求f′′(a).2∵f′(x)=2(x−a)g(x)+(x−a)g′(x)∴f′′(x)=2g(x)+2
7、(x−a)g′(x)+2(x−a)g′(x)2+2(x−a)g′′(x)思考题解答∵g(x)可导2∴f′(x)=2(x−a)g(x)+(x−a)g′(x)∵g′′(x)不一定存在故用定义求f′′(a)f′(x)−f′(a)f′′(a)=limf′(a)=0x→ax−af′(x)=lim=lim[2g(x)+(x−a)g′(x)]=2g(a)x→ax−ax→a
