数学物理定解问题

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1、第七章数学物理定解问题§7.1数学物理方程的导出物理问题中出现的微分方程是物理规律的数学描述u通常表示位移质点质点组连续体场（电、磁、声、温度）••••••••u(t)ui(t)u(r,t)+u(r,t)常微分常微分偏微、积偏微、积分方方程方程组分方程程定解条件(个性)——边界条件+初始条件边界条件：物理系统与外部的相互作用初始条件：物理系统过去的历史数学物理问题的解决思路•根据物理规律建立方程——泛定方程（共性）•定解问题(泛定方程＋定解条件)求一个微分方程的解使之满足一定的初始条件和边界条件的

2、问题称为定解问题•解定解问题•检验解（满足自洽条件，符合实验事实）（一）均匀弦的微小横振动物理规律：牛顿运动定律，弹性定律假定：1）张力T≫重力mg；2）静止时弦位于x轴，横向振动时各点的位移为u(x,t)；(3)弦的线密度为；（4）振动是微小的；（5）弦是理想柔软的。考察xxx小段B：力的平衡方程为：x方向：TcosTcos02211y方向：TsinTsin(s)u2211tttan=u/x=u’(x),sin=f(u’)因弦作无限小振动，有近似：xu3tgxu

3、uusin01tg2u2xxx1x211ucos1011tg2u2x1x222us(x)(u)x1xx1f(w)1w2df(w)1df(w)21ww...2dw2!dww0w03df(w)111dww021w2w0111w1w211212125运动方程成为：TT0（x方向）21T2

4、ux

5、xxxT1ux

6、xx(x)utt（y方向）Tu

7、u

8、uxxxxxxxxxuttTxxuttxT2x0,a22u(x,t)2u(x,t)22a20uttauxx0tx如果弦线受到线密度为F(x,t)的横向力作用，则弦的受迫振动方程为：Tu

9、Tu

10、F(x,t)x(x)u2xxxx1xxxttuxTxF(x,t)x(x)uttxTuF(x,t)xuttxT2T1T2T,x0,

11、a22u(x,t)Tu(x,t)F(x,t)22tx（二）均匀杆的纵振动物理规律：牛顿运动定律，弹性定律假定：（1）静止时杆位于x轴，纵向振动时各点的位移为u(x,t);(2)杆的密度为，Young模量为Y；（3）振动是无限小的。xx+xoxx+dxxABC?uu+uABC（一般固体情形应该du≪dx,Ouu+duuABC而教材示意图du>dx?）dx微元原长,du微元绝对伸长,du/dx微元相对伸长81、应力－应变关系—虎克定律f/Su(xx,t)u(x,t)uY张应变lim

12、l/lx0xxf张应力—张应变uSP(x,t)YxlfYS2、牛顿运动定律lSxuP(xx,t)P(x,t)Stt1P(xx,t)P(x,t)1Puttxx当x01P1u均匀材料Y2uuttYuxxxttx22Y2auau0ttxx如果，杆横向截面单位面积上受到线密度为F(x,t)的纵向力作用，则杆的受迫振动方程为：u[F(x,t)]=[N/L3]dudxudxxx(Sdx)uYS(u

13、

14、u

15、)F(x,t)SdxttxxdxxxuxYSdxF(x,t)SdxYSudxF(x,t)Sdxxxx22u(x,t)Yu(x,t)F(x,t)uYuF(x,t),ttxx22tx可见：两个方程具有相同的形式，可以写成统一的形式：22u(x,t)2u(x,t)2a20tx式中TYa或者a以后将看到，a是波在弦上（横波）或杆中（纵波）传播的速度。(三)电报方程(四)均匀薄膜的微小横振动22uauu0(aT/)ttxxyyT:张力值—膜上单

16、位长直线两方的牵引力22:Laplace算符,222xy读Laplacian2223222xyz(五)流体力学与声学方程(六)电磁波方程（七）扩散方程物理过程：扩散—由于浓度不均匀，物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移。表征物理量：浓度的空间和时间分布u(r,t)。物理规律：扩散定律，质量守恒。扩散流强度q(r,t)—单位时间通过