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1、《数学物理方法》电子教案李高翔吴少平第一篇复变函数论第一章复变函数和解析函数思考：复变函数和实变函数的区别和联系。实变函数：实变量的函数。例：x,y—实变量；f(x,y)—实变函数复变函数：复变量的函数，实变函数的推广。实数→实变量→实变函数复数→复变量→复变函数§1.1复数（复数的定义，几何表示，运算规则）数的扩展：正数→负数→实数2在实数范围内：方程ax+bx+c=02当Δ=b−4ac<0时，没有实根。→扩大数域，引进复数一、复数的定义和基本概念21.定义：复数——形如z=x+iy的数（x,y为实数，i=−1，i：虚数单位）2.基本概念：x=ReZ（实部）y=ImZ（虚部）纯虚数，共轭
2、复数（z，z*）,复数相等二、复数的表示方法1.复平面(1)直角坐标表示：在坐标平面xoy上，用点(x,y)表示复数z=x+iy→平面上的点(x,y)与复数z=x+iy一一对应。全体复数布满整个平面——复平面（或z平面）定义：x轴——实轴，y轴——虚轴从原点(0,0)出发指向点(x,y)的矢量——复矢量。(2)极坐标表示：复平面上的点用极坐标(ρ,ϕ)表示⎧x=ρϕcos⎨⇒=ziρϕϕ(cos+sin)（：z的模，：z的辐角）ysinρϕ⎩=ρϕ注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：ϕϕ=+02kkπ(=±0,1...)辐角主值：argz(0≤argz<2π)辐角：Azr
3、g=+=argzkk2π(0,1...)±iϕ利用欧拉公式：ei=+cosϕϕsin，有iϕzi=+=ρϕϕρ(cossin)e2.复球面复数不仅可以用平面上的点表示，还可用球面上的点表示。方法：过复平面的坐标原点作一球面与复球面相切，过o作复平面的垂线交球面于N点（北极点），作射线NP交球面于P’点，交复平面于P点，可知P’与P对应，所以以o为圆心的圆L上的点与复球面纬线L’上的点相对应，圆L内部的点与L’下方的点对应。圆L的半径ρ→∞，L’趋向球顶缩成一点N→复平面的无限远处对应于球面上的一点N这样，复平面的无限远处看成一个“点”——无限远点。三、复数的运算规则由于实数是复数的特例，故
4、在规定其运算方法时，既应使复数运算的法则适用于实数特例时，能够和实数运算的结果相符合，又应使复数的算术运算能够满足实数算术运算的一般规律（如交换律，结合律等）。1.加法ZZZ=+=12（x+iy）+（x+iy）1122=(x+x)+i(y+y)1212几何意义：z1，z2为复矢量。z=z1+z2遵守平行四边形法则。这样：ZZZZ1212+≥+（两边之和不小于第三边）ZZZZ1212−≥−（一边不小于两边之差）2.减法：ZZZ=−=12（x+iy）-（x+iy）=(x-x)+i(y-y)112212123.乘法:ZZZ=×=12（x+iy）11（x+iy）=(xx⋅221212-yy)+i(
5、xy+xy)1221ZZeeiiϕϕ12ei()ϕ1+ϕ2×=ρρ=ρρ(模相乘,辐角相加)121212Zx+iy（x+iy）（x-iy）(xx+yy)⋅xy-xyZ==111==11221212++i21124.除法:Zx+iy（x+iy）（x-iy）⋅x+y22x+y2222222222222(分母有理化)iϕ1Ze11ρρ1i()ϕϕ12−==eZeiϕ2(模相除，辐角相减)ρρ2225.乘方:N个Z相乘nninϕZe=ρn棣摩弗公式:(cosϕϕ+=+insin)cosϕϕisinnnz=w6.开方:0niϕiϕ0令w=z0。设w=ρe，z0=ρ0e。ρ,ϕρ,ϕ已知00，求：ni
6、nϕiϕ0由ρe=ρe，有:0⎧n=→=nρρρρ00⎪⎨ϕ2kπ=+2→=0+()⎪nϕϕ0kπϕk：整数⎩nn即w的模ρ与z0的模一一对应.w的辐角与z0的辐角不是一一对应.n仅有n个不同的值满足w=z0即ϕ02kπi(+)w=nz=nenn(k=0,1,"n−1)ρ00设Z1=x+iy11Z2=（x+iy）22,则：以下的交换律、结合律、分配律成立ZZZZ+=+(加法交换律)1221ZZ=ZZ(乘法交换律)1221ZZZZZZ++=++()()(加法结合律)123123ZZZ()=()ZZZ(乘法结合律)123123()ZZZZZZZ+=+(分配律)1231323§1.2复变函数复数
7、→复变量→复变函数一、复变函数的定义定义:设E为一复数集，如果E上每一个复数z有唯一确定的w与之对应,则称在E上确定了一个单值函数。记为：w=f(z)(z∈E)w:z的函数；z:w的自变量(或宗量)如果对于自变量Z，对应着两个和两个以上的w，则称在E上确定了一个多值函数。因为z=x+iy，所以复数的实部和虚部应是x,y的函数。即w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)——一个复变函数是两个实变函数的有序组合。→实变函数
