本节要求读者在中学数列极限的基础上

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1、2.2极限教学要求本节要求读者在中学数列极限的基础上1.掌握函数极限的直观意义和运算法则；xsinx12.学会运用重要极限lim=1,lim1+=e来计算初等函数或数列的极限；x→0xx→∞x3.理解无穷小量与无穷大量及其等价的意义,掌握运用无穷小量等价计算极限的方法；4.了解初等函数的连续性；5.初步了解极限概念的应用．知识点1.极限概念2.极限的性质3.两个重要极限4.无穷小量与无穷大量5.应用举例*6.函数极限的分析定义2.2.1极限概念例2.2.1早在2300年前，我国春秋战国时期的哲学名著《

2、庄子》记载着庄子的朋友惠施的名言：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”意思是：从一尺长的杆，第一天截取一半，第二天截取余下的一半，即1/4：如此继续，每天截取前一天剩余的一半，以至无穷，永无止境．把每天截取的量按顺序写出来就成等比数列：日子序号n12345…n…n截取量f(n)1/21/41/81/161/32…1/2…n当日子序号(即数列的项数)无限增大时，对应的截取量(即通项)1/2就无限地接近0，但又永远不会等于0．正如《庄子》所说：“万世不竭”．例2.2.2早在1700年前，我国三国时期数学家刘徽运用割圆术

3、算出圆周率π介于3.1410与3.1427之间．割圆术的基本思想是用圆的内接正n边形周长逼近圆周．当n无限增大时，正n边形周长ln就无限接近圆周πd(其中d是圆的直径)．图2.36定义．给定数列{xn}，若项数n无限增大时(记作n→∞)，通项xn无限地接近常数A，则称A为数列{xn}的极限，记作limxn=A，同时说数列{xn}收敛到A．否则称数列{xn}发散．n→∞注．“limxn=A”读作“n趋于无穷大时xn的极限是A”，也简化读作“limitxn等于A”．n→∞82nn+(−1)例2.2.3求limn→∞n

4、nnnnn+(−1)(−1)(−1)(−1)解．因=1+．其中随n无限增大时无限地逼近0，故1+nnnnnn+(−1)无限地逼近1．因此lim=1．n→∞n2n例2.2.4数列：a0，a0q，a0q，…，a0q，…称为等比数列，q是其公比．例2.2.1中,从惠施名言得知每日截取量形成的数列是a0=1/2，q=1/2的等比数列．0,q<1n若a0≠0，则我们有lima0q=a0,q=1.n→∞不存在,q>1例2.2.5等比级数的求和．n2n把等比数列{a0q}的所有项用加号连接起来：a0+a0q+a0q+

5、…+a0q+…，这个式∞n−1nn-1k子可缩写成∑a0q，并称为等比级数.式子a0+a0q+…+a0q=∑a0q称为该等比n=0k=0级数的前n项部分和，记作sn．于是得到部分和的数列：n-1s1=a0，s2=a0+a0q，…，sn=a0+a0q+…+a0q，…．nn−1a0(1−q)现在研究数列{sn}的收敛问题．因sn=a0+a0q+L+a0q=，所以，1−qna(1−q)a00只要

6、q

7、<1,极限lims=lim=就存在，此极限可以理解为级数所有项加起nn→∞n→∞1−q1−q∞∞a0nna0来的结果,我

8、们称为等比级数∑a0q的和，并记作∑a0q=（

9、q

10、<1）．1−qn=0n=01−qn∞a0(1−q)n对

11、q

12、≥1，极限lim不存在，我们就说等比级数∑a0q发散．n→∞1−qn=0∞112例如，∑==1．即把1尺长的杆，每天截取前一天余下的一半，把所有截n1n=121−2取的量加起来，就应等于整个杆的长度1尺．..例2.2.6把循环小数0.31=0.313131…化成分数...–2–4–2–2解．0.31=0.31+0.0031+…=31×(10+10+…)=31×10÷(1−10)=31/99．我们已经了解

13、数列的极限，但是微积分的主要研究对象是函数，数列是自变量取正整数83值的特殊函数，我们不仅要研究数列的变化趋势，更需要研究一般函数在自变量向某个方向变化时函数(因变量)值是如何变化的．实际上，函数极限是微积分学的最基本工具，它贯穿微积分学的始终．我们先看两个例子．例2.2.7当x无限地逼近于0时，看函数f(x)=xsinx是如何变化的?解.我们从下图看到，x在0的两侧无限地逼近于0时，引起函数值(图象上的点的纵坐标)xsinx无限地逼近0．图2.37这种情况记作xsinx→0(x→0)或limxsinx=0．x→

14、0sinx例2.2.8当x无限增大时，看函数f(x)=是如何变化的?xsinx解.我们从下图看到，x无限增大时，引起函数值无限地逼近0．x图2.38sinxsinx这种情况记作→0(x→+∞)或lim=0．xx→+∞x仔细观察上述两个例子后，你就能理解函数极限的下述直观描述(朴素定义)．函数极限的朴素定义．设y=f(x)是给定函数，如果自变量x在定义域内按照某种趋势(记作