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《第6 章基本概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第6章基本概念近世代数（抽象代数）研究的主要内容就是代数系统，即在一个非空集合上面定义一种满足一定条件的一种或一种以上的二元运算（也称代数运算）．本书主要介绍群、环、域三个基本的代数系统．在这一章中，主要介绍与三种代数系统密切相关的基础概念集合之间的映射、二元运算、带有二元运算集合之间的同态映射与同构映射以及等价关系．§1映射在介绍映射的概念之前，首先大体回顾有关集合的表示符号与集合运算．集合用字母A,B,C,D,"来表示．元素一般用小写拉丁字母a,b,c,d,"来表示，我们记为A={a,b,c,d,"}．若a是集合A的一个元
2、素，称为a属于A，或A包含a，记为a∈A．若不是集合aA的一个元素，称为a不属于A，或A不包含，记为aa∉A．φ：空集，是任何集合的子集．B⊂A：B为A的子集，称为B属于A．B⊄A：B不是A的子集，称为B不属于A．A∩B：表示B和A的交集．A∪B：表示A和B的并集．A：表示A关于整体集合I的补集．显然，A=I−A．A2={B
3、B⊆A}表示A的所有子集组成的集合，叫做A的幂集．定义1设A,A,",A是n个集合．一切从A,A,",A里顺序取出的元素组12n12n(a,a,",a)，a∈A所做成的集合叫做集合A,A,",A的加氏积，
4、记为12nii12nA×A×"×A．12n下面给出映射的一般性定义．定义2设A,B是两个给定的集合，如果有一个规则φ，对于A的任意元素a∈A，都能得到一个唯一的b∈B与对应，那么aφ是A到B的一个映射．记为１０７φ:A→BA叫做映射φ的定义域，B叫做φ的值域，b说是在aφ作用下的象，记作b=φ(a)，并用符号φ:a6b表示，说是的一个原象．ab例1I:a6a，∀a∈AA是A到A的一个映射，叫做A上的恒等映射．例2设A={x,y,z},B={a,b,c,d}．ϕ：A6Bx6ax6by6cz6dx的象不唯一，故ϕ不是A到B的映射．
5、定义3A到B的两个映射φ和ϕ相等当且仅当，对任意的a∈A，都有φ(a)=ϕ(a)．从定义3中可以得到一判断映射不相等的简单方法，即存在a∈A，使得φ(a)≠ϕ(a)．定义4φ为集合A到集合B的映射．如果对于集合B中的每一个元素b，在集合A中都能找到原象，使ab=φ(a)，则称φ为集合A到集合B的满射．如果对于任意a=/a⇒φ(a)=/φ(a)，1212称φ为集合A到集合B的单射．如果φ即为单射又为满射，则称φ为集合A到集合B的一一映射．由单射的定义知，φ为单射的另等价一定义（逆否命题）是φ(a)=φ(a)⇒a=a．1212另外
6、，由一一映射的定义易得结论有限集合与它的真子集之间不可能存在一一映射．１０８定义5若有三个集合A,B,C,φ:A→B,ϕ:B→C由φ,ϕ确定的A到C的映射η:a6ϕ(φ(a))，∀a∈A．叫做映射φ,ϕ的合成，记为η=ϕDφ．定理1设φ:A→B,ϕ:B→C,η:C→D,则有1)ηD()()ϕDφ=ηDϕDφ,2)IDφ=φ,φDI=φ．BA证明１）按照映射相等的定义，易见合成映射ηD(ϕDφ)与(ηDϕ)Dφ的定义域和值域相同，下面我们需证对任意的a∈A[ηD(ϕDφ)](a)=[(ηDϕ)Dφ](a)成立．根据映射合成定义，
7、对于任意的a∈A我们有以下等式[ηD(ϕDφ)](a)=η[(ϕDφ)(a)]=η[ϕ(φ(a))]=(ηDϕ)(φ(a))=[(ηDϕ)Dφ](a).２）IDφ与φ的定义域均为A，值域均为B．并且对任意的a∈A有B(IDφ)(a)=I(φ(a))=φ(a)，BB即IDφ=φ．同理可证φDI=φ．BA定理1中的1）说明了映射的合成满足结合律．定义6设φ:A→B．若存在ϕ:B→A，使ϕDφ=I，则说φ是左可逆映射，ϕ叫做Aφ的左逆映射．同样，若φDϕ=I，则说φ是右可逆，ϕ叫做φ的右逆映射．当φ是双侧可B逆时，称φ是可逆映射．１
8、０９下面定理提供了判断一个映射为左可逆或右可逆的充要条件．定理2给定映射φ:A→B．（1）φ是左可逆的充要条件为φ是单射；（2）φ是右可逆的充要条件为φ是满射．证明（1）必要性：设φ是左可逆，即存在ϕ:B→A，使ϕDφ=I．A希望证明，当φ(a)=φ(a)时，有a=a．因为1212a=I(a)=(ϕDφ)(a)=ϕ(φ(a))=ϕ(φ(a))1A1112=(ϕDφ)(a)=I(a)=a，2A22即φ是单射．充分性：设φ是A到B的单射，希望找到ϕ:B→A，使ϕDφ=I．取定一个a∈A．定11A1义ϕ如下1⎧a,∃a∈A,φ(a)
9、=b,ϕ1(b)=⎨a,b∉φ(A).⎩1则任意的b∈B,ϕ(b)唯一确定，并且对任意的a∈A有1(ϕDφ)(a)=ϕ(φ(a))=ϕ(b)=a，111即ϕDφ=I．1A（2）必要性：设φ是右可逆，即存在η:B→A，使φDη=I．下证φ为满射．由Bb=I(b)=(φDη)(b
