Cambridge - English Advanced Grammar In Use

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1、2003IMOshortlist2003IMOshortlist(2003IMO备选题)Algebra(代数)A1.设a(i=1,2,3;j=1,2,3)为实数，当i=j时a为正数，当i¹j时a为负ijijij数。证明：分别存在正实数c,c,c使123ac+ac+ac,ac+ac+ac,ac+ac+ac111122133211222233311322333全是正数、全是负数、或全是零。A2.找出所有的非减函数f:®Â，使得(i)f(0)=0,f(1)=1;(ii)f(a)+f(b)=f(a)f(b)+f(a+b-ab)对所有的a<1

2、实数列a³a³a³L,b³b³b³L以及它们的和123123A=a+L+a,B=b+L+b;n=1,2,Ln1nn1n定义c=min{a,b}且C=c+L+c,n=1,2,Liiin1n（1）是否存在序列(a),(b)使得(C)有界，而(A)和(B)ii³1ii³1nn³1nn³1nn³1无界。（2）对于问题（1）如果增加条件b=1i,i=1,2,L答案如何呢？验证i你的答案。1/8欢迎光临数学竞赛网站2003IMOshortlistA4.设n是一个正整数，x,x,L,x是实数并且x£x£L£x,求证：12n12n2ænö2n2(n-1)2a.çåx-x÷£å(x-x)。çi

3、j÷3ijèi,j=1øi,j=1b.上式等号成立当且仅当x,L,x是等差数列。(选为IMO第五1n题。)A5.设+++Â为正实数集。找出所有满足下列条件的函数f:®Â(i)对任意的x,y,zÎR+，f(xyz)+f(x)+f(y)+f(z)=f(xy)f(yz)f(zx)(ii)对任意的1£x

4、：ç÷³ç÷ç÷è2nøènøènø2/8欢迎光临数学竞赛网站2003IMOshortlistCombinatorics(组合)C1.设A是集合S={1,2,3,L,1000000}的一个101元子集，求证：存在S中的100个元素t,t,L,t，使得集合A={x+txÎA},(j=1,2,L,100)12100jj是两两不交的。(选为IMO第一题)C2.设D,D,L,D是平面上的n个闭圆盘。（一个闭圆盘是其区域12n在圆内，其边界是个圆）设平面上的每点最多包含在2003个不同圆盘D内。证明存在一个圆盘D最多与其它7´2003-1个D圆iki盘相交。C3.设n³5为一给定的整数

5、。试决定最大的k,使存在n边形（凸的或非凸的，但区域内不能自相交）有k个直角内角。C4.设x,L,x和y,L,y为实数，且A=(a)为一矩阵，其元素1n1nij1£i,j£nì1,ifxi+yj³0aij=í.0,ifx+y<0îij又设B为只含0,1元的n´n矩阵，且其行和与列和分别等于矩阵A所对应的行和与列和。证明A=B。3/8欢迎光临数学竞赛网站2003IMOshortlistC5.平面上的每个格点都是一个半径为1/1000的圆盘的圆心。(1).证明：存在一个等边三角形其顶点在不同的圆盘内。(2).证明：每个顶点在不同圆盘内的等边三角形其边长大于96。C6.设f(k)是

6、满足下列条件的整数n的个数:(i)k0£n<10，所以n是k位数码（十进制表示），可以0开头。(ii)n的数码可以重排，使得重排后所得到的数可以被11整除。证明：对所有的正整数m,有f(2m)=10f(2m-1)4/8欢迎光临数学竞赛网站2003IMOshortlistGeometry（几何）G1.设ABCD是一个圆内接四边形，点P、Q和R分别是D到直线BC，CA，AB的垂足。证明：PQ=QR的充要条件是ÐABC和ÐADC的角平分线的交点在AC上。（选为IMO第4题）G2.直线上的三点A，B，C的选择如下：设G是过A点和C点的圆，但圆心不在直线AC上，过A点和C点分别做圆G的

7、切线交于P，圆G与直线PB的交点为Q。证明ÐAQC的角平分线与直线AC的交点和圆G的选择无关。G3.已知P为三角形ABC内的一点，点D、E和F分别是P到直线222222BC、CA和AB的垂足，且满足AP+PD=BP+PE=CP+PF。用I,I,I表示三角形ABC的旁心。证明P为三角形III的外心。ABCABCG4.已知G，G，G，G是不同的圆，且G，G外切于P，G,G也外12341324切于P。设G和G；G和G；G和G；G和G分别交于不同于P点122334412AB×BCPB的A，B，C，D。证明：=2