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1、高等教育出版社教育电子音像出版社作者：任玉杰第八章数值微分第八章数值微分微分是我们在高等数学中学过的最基本的运算.一方面它是一些非常重要的数学工具（微分方程、概率论等）的基础，另一方面它在实际问题中也有着许多直接的应用.函数的导数计算可分为数值求导和符号求导两类方法.数值求导是导函数在某点处的值的一类近似计算的方法，例如遇到由离散数据或者图形表示的函数就只有求助于数值方法.符号求导是指对给定的函数求它在某区域上的导函数或在某点处的导数.二者在概念上有着密切的联系，但在求解思路上却有明显差别.本章重点介绍数值微分及其用MATLAB计算的方法，为了估计数值微分计算的误差，在第一节简
2、单介绍用MATLAB计算符号微分的方法.8.1用MATLAB求各阶（偏）导数和（全）微分在MATLAB的函数库中有符号求导的程序diff.m，可以调用此程序求符号（偏）导数和（全）微分，不但使用方便，而且计算准确，迅速.尤其是求结构复杂的高阶（偏）导数和（全）微分更显示出其优越性.在本节主要介绍用diff.m求一（多）元函数的各阶（偏）导函数和（全）微分及其在某点处的各阶（偏）导数和（全）微分.8.1.1一元函数的MATLAB符号导数和微分在大学数学中，一元函数y=f(x)的各阶导函数记为y',y",y''',L，在这里分别记作yx,yxx,yxxx,L.用diff求符号导函数
3、、微分和在一点处的导数和微分的调用格式和功能如表8–1和例题所示.表8–1求一元函数y=f(x)的各阶导函数的MATLAB方法符号求导的命令功能yx=diff(f(x),x)求函数y=f(x)对x的一阶导函数y'=f'(x)dy=diff(f(x),x)*dx求函数y=f(x)的一阶微分dy=f'(x)dxyxx=diff(f(x),x,2)''或yxx=diff(yx,x)求函数y=f(x)对x的二阶导函数y''=f(x)yxxx=diff(f(x),x,3)'''或yxxx=diff(yxx,x)求函数y=f(x)对x的三阶导函数y'''=f(x)yxn=diff(f(x)
4、,x,n)求函数y=f(x)对x的n阶导函数y(n)=f(n)(x)yn=simple(yxn)将n阶导函数y(n)=f(n)(x)化简，并记作yn.pretty(diff(f(x),x)输出一个符合日常书写习惯的一阶导函数的表达式8.1.2多元函数的MATLAB符号求偏导数和全微分我们不但可以调用diff程序作一元函数的符号求导，而且还可以作多元函数的符号求偏导数.在这里我们将二元函数z=f(x,y)的各阶偏导数分别记作zx,zy,zxx,zyy,zxy,zyx,163．高等教育出版社教育电子音像出版社作者：任玉杰第八章数值微分zxxx,zxxy,zxyy,zyy,LL.如果
5、二元函数z=f(x,y)的两个混合偏导数zyx和zxy在某区域D上连续，则zyx=zxy.同理，如果三元函数u=f(x,y,z)的混合偏导数zxxy,zyxx和zxyx在某区域D上连续，则zxxy=zyxx=zxyx.用diff可以作多元函数的符号求偏导函数、全微分和在一点处的偏导数和全微分，下面以二元函数和三元函数为例说明diff的调用格式和功能（如表8–2和例题所示）.读者可以根据用diff求二元函数和三元函数的偏导函数和全微分的方法推广到四元和四元以上的函数.表8–2用diff.作符号求偏导数和全微分的调用格式和功能符号求导的命令功能zx=diff(f(x,y),x)求z
6、=f(x,y)对x的一阶偏导函数z'=f'(x,y)xxzy=diff(f(x,y),y)求z=f(x,y)对y的一阶偏导函数z'=f'(x,y)yydz=zx*dx+zy*dy求z=f(x,y)的全微分dz=f'(x,y)dx+f'(x,y)dyxyzxx=diff(zx,x)求z=f(x,y)对x的二阶偏导函数z''=f''(x,y)xxxxzxy=diff(zx,y)求z=f(x,y)的二阶混合偏导函数z''=f''(x,y)xyxyn∂zzxn=diff(f(x,y),x,n)求函数z=f(x,y)对x的n阶偏导函数n∂xn∂zzyn=diff(f(x,y),y,n)求
7、函数z=f(x,y)对y的n阶偏导函数n∂yux=diff(f(x,y,z),x)求u=f(x,y,z)对x的一阶偏导函数u'=f'(x,y,z)xxuy=diff(f(x,y,z),y)求u=f(x,y,z)对y的一阶偏导函数u'=f'(x,y,z)yyuz=diff(f(x,y,z),z)求u=f(x,y,z)对z的一阶偏导函数u'=f'(x,y,z)zz求u=f(x,y,z)的全微分du=ux*dx+uy*dy+uz*dz'''du=f(x,y,z)dx+f(x,y,z)dy+f(x,
